在 NumPy 中，廣播（Broadcasting）是一組形狀匹配規(guī)則，用于支持逐元素運(yùn)算在不同形狀數(shù)組之間自動(dòng)對齊，從而在不編寫 Python 循環(huán)、不顯式復(fù)制數(shù)據(jù)的前提下，實(shí)現(xiàn)高效的向量化計(jì)算。

一、什么是廣播？

我們知道，當(dāng)兩個(gè)數(shù)組形狀相同，二元運(yùn)算會(huì)逐元素執(zhí)行：

import numpy as np
a = np.array([0, 1, 2])b = np.array([5, 5, 5])
a + b

輸出：array([5, 6, 7])

廣播允許對不同形狀的數(shù)組執(zhí)行類似的逐元素運(yùn)算。

例如，可以將一個(gè)標(biāo)量（可以將其視為一個(gè) 0 維數(shù)組）加到數(shù)組上：

a + 5

輸出：array([5, 6, 7])

可以將其理解為將數(shù)值 5 “拉伸”或“復(fù)制”為 [5, 5, 5] 后再進(jìn)行相加。

但需要強(qiáng)調(diào)的是，NumPy 并不會(huì)創(chuàng)建 [5, 5, 5] 再相加，而是在計(jì)算過程中將標(biāo)量“廣播”到數(shù)組的每個(gè)元素。

這種機(jī)制不僅適用于標(biāo)量，也適用于更高維的數(shù)組，只要滿足一定規(guī)則。

觀察一維數(shù)組與二維數(shù)組相加的結(jié)果：

M = np.ones((3, 3))M

輸出：array([[1., 1., 1.],       [1., 1., 1.],       [1., 1., 1.]])

再執(zhí)行：

M + a

輸出：array([[1., 2., 3.],       [1., 2., 3.],       [1., 2., 3.]])

此處，一維數(shù)組 a 被“拉伸”或廣播到第二個(gè)維度，以匹配 M 的形狀。

這些示例較為直觀。但在更復(fù)雜的情況下，兩個(gè)數(shù)組都可能發(fā)生廣播。請看下例：

a = np.arange(3)b = np.arange(3)[:, np.newaxis]
print(a)print(b)

輸出：[0 1 2][[0] [1] [2]]

當(dāng)執(zhí)行：a + b

輸出：array([[0, 1, 2],       [1, 2, 3],       [2, 3, 4]])

正如前述例子中將一個(gè)值“拉伸”以匹配另一個(gè)數(shù)組的形狀一樣，在這里，a 和 b 都被“拉伸”到一個(gè)共同形狀，結(jié)果是一個(gè)二維數(shù)組。

下圖展示了這些示例的幾何結(jié)構(gòu)。

淺色區(qū)域表示被廣播的值。再次強(qiáng)調(diào)，這些額外內(nèi)存在實(shí)際計(jì)算中并未真正分配，但在概念上進(jìn)行這樣的想象有助于理解什么是“廣播”。

要注意的是，廣播只發(fā)生在：

• 逐元素 ufunc
• 運(yùn)算符重載運(yùn)算

不會(huì)發(fā)生在：

• 矩陣乘法 @ 和 matmul
• 點(diǎn)積 dot

二、廣播規(guī)則

NumPy 中的廣播遵循一套嚴(yán)格規(guī)則和步驟來確定兩個(gè)數(shù)組之間如何交互。

廣播比較是從最后一維（尾維）開始對齊，正確廣播后的結(jié)果形狀等于“各維度取最大值”。

• 規(guī)則 1：如果兩個(gè)數(shù)組的維度數(shù)不同，則在維度較少的數(shù)組形狀左側(cè)補(bǔ) 1。
• 規(guī)則 2： 若在某一維上（從最后一維開始）兩個(gè)數(shù)組的形狀不相同，則該維度中長度等于 1 的數(shù)組會(huì)被擴(kuò)展至與另一數(shù)組匹配。
• 規(guī)則 3： 如果在任意維度上兩個(gè)數(shù)組的大小不同，且長度都不等于 1，則拋出錯(cuò)誤。

下面通過具體示例說明。

廣播示例 1：將二維數(shù)組與一維數(shù)組相加

M = np.ones((2, 3))a = np.arange(3)

數(shù)組形狀為：

M.shape = (2, 3)a.shape = (3,)

根據(jù)規(guī)則 1，對 a 的形狀左側(cè)補(bǔ) 1：

M.shape -> (2, 3)a.shape -> (1, 3)

根據(jù)規(guī)則 2，第一維不一致，因此將其擴(kuò)展：

M.shape -> (2, 3)a.shape -> (2, 3)

形狀匹配，結(jié)果形狀為 (2, 3)：

M + a

輸出：array([[1., 2., 3.],       [1., 2., 3.]])

廣播示例 2：兩個(gè)數(shù)組都需要廣播

a = np.arange(3).reshape((3, 1))b = np.arange(3)

形狀：

a.shape = (3, 1)b.shape = (3,)

首先按照規(guī)則 1，數(shù)組 b 的形狀左側(cè)補(bǔ) 1：

a.shape -> (3, 1)b.shape -> (1, 3)

然后按照規(guī)則 2，先后擴(kuò)展數(shù)組 a 的形狀和數(shù)組 b 的形狀：

a.shape -> (3, 3)b.shape -> (3, 3)

由于最終形狀一致，因此這兩個(gè)數(shù)組的形狀是兼容的。下面可以看到這一點(diǎn)：

a + b

輸出：array([[0, 1, 2],       [1, 2, 3],       [2, 3, 4]])

廣播示例 3：不兼容的情形

M = np.ones((3, 2))a = np.arange(3)

形狀：

M.shape = (3, 2)a.shape = (3,)

首先按照規(guī)則 1，數(shù)組 a 的形狀左側(cè)補(bǔ) 1：

M.shape -> (3, 2)a.shape -> (1, 3)

然后按照規(guī)則 2，第二維比較時(shí)發(fā)現(xiàn) 2 ≠ 3 且均不為 1，此時(shí)觸發(fā)規(guī)則 3，最終形狀不一致，因此不兼容。

當(dāng)執(zhí)行：

M + a

會(huì)產(chǎn)生：ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (3,2) (3,)

需要注意的是，不能假設(shè)右側(cè)補(bǔ) 1。廣播規(guī)則只允許在左側(cè)補(bǔ) 1。若需要右側(cè)補(bǔ) 1，必須顯式 reshape：

a.reshape(3, 1)# (3, 1)

或者：

a[:, np.newaxis]# 等價(jià)于a[:, None]

當(dāng)執(zhí)行：

M + a[:, np.newaxis]

輸出：array([[1., 1.],       [2., 2.],       [3., 3.]])

廣播規(guī)則適用于所有二元通用函數(shù)（ufunc）。例如：

np.logaddexp(M, a[:, np.newaxis])

array([[1.31326169, 1.31326169],       [1.69314718, 1.69314718],       [2.31326169, 2.31326169]])

logaddexp(x, y) 計(jì)算 log(exp(x) + exp(y))，并以更高數(shù)值精度實(shí)現(xiàn)。

三、NumPy 廣播的實(shí)際應(yīng)用

1、數(shù)據(jù)中心化

假設(shè)有 10 條觀測數(shù)據(jù)，每條包含 3 個(gè)特征，存儲(chǔ)為 10×3 數(shù)組：

X = np.random.random((10, 3))

計(jì)算每個(gè)特征的均值：

Xmean = X.mean(0)# array([0.56171119, 0.37035172, 0.56328698])

中心化數(shù)據(jù)：

X_centered = X - Xmean

驗(yàn)證均值是否接近 0：

X_centered.mean(0)# array([ 5.55111512e-17, -4.44089210e-17, -7.77156117e-17])

結(jié)果在機(jī)器精度范圍內(nèi)接近 0。

2、繪制二維函數(shù)

廣播在生成二維函數(shù)圖像時(shí)非常有用。

x = np.linspace(0, 5, 50)y = np.linspace(0, 5, 50)[:, np.newaxis]
z = np.sin(x) ** 10 + np.cos(10 + y * x) * np.cos(x)

x 與 y 自動(dòng)廣播生成 50×50 網(wǎng)格。

使用 Matplotlib 可視化：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.imshow(z, origin='lower', extent=[0, 5, 0, 5],           cmap='viridis')plt.colorbar()

廣播使二維函數(shù)的計(jì)算無需顯式雙重循環(huán)。

小結(jié)

廣播是一組嚴(yán)格規(guī)則，用于支持不同形狀數(shù)組之間的逐元素運(yùn)算：

• 維度不足時(shí)在左側(cè)補(bǔ) 1
• 從右向左逐維比較，每一維必須“相等或存在 1”
• 不滿足條件則報(bào)錯(cuò)

廣播機(jī)制是 NumPy 向量化計(jì)算的重要基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)分析中。

到此這篇關(guān)于NumPy實(shí)現(xiàn)廣播機(jī)制與廣播規(guī)則的示例的文章就介紹到這了,更多相關(guān)NumPy 廣播機(jī)制與廣播規(guī)則內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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