微積分的計(jì)算也許平時(shí)用不到，會(huì)讓人覺得有點(diǎn)高深。

但其實(shí)它在數(shù)學(xué)專業(yè)的人眼中，也不過(guò)是一種極其普通的計(jì)算，是一種和加減乘除差不多的級(jí)別的常用計(jì)算方式。

微積分和求極限運(yùn)算本身不是很難，只是它們的計(jì)算規(guī)則不像加減乘除那么簡(jiǎn)單。

它們的計(jì)算過(guò)程中需要使用很多計(jì)算規(guī)則（這些不太容易記?。?，就像計(jì)算三角函數(shù)要記住很多三角函數(shù)的公式和定理一樣。

使用 Sympy 可以有效減輕這方面的負(fù)擔(dān)，讓我們用編程的方式來(lái)解決微積分問(wèn)題。

1. 極限計(jì)算

極限計(jì)算的應(yīng)用場(chǎng)景很廣，也是學(xué)習(xí)微積分的前置步驟。

1.1. 函數(shù)極限

比如這個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)lim_?x→∞1/x,

我們想知道它在x趨于無(wú)窮大時(shí)的值，普通的加減乘除算法就無(wú)法運(yùn)算。

用 Sympy 來(lái)計(jì)算：

from sympy import Symbol, Limit, S
Limit(1/x, x, S.Infinity).doit()
#運(yùn)行結(jié)果
0

當(dāng) x 趨向于0時(shí)，

Limit(1/x, x, 0).doit()
#運(yùn)行結(jié)果，下面的符號(hào)表示正無(wú)窮大
oo

1.2. 瞬時(shí)速度

在物理上，計(jì)算瞬時(shí)速度的時(shí)候，也會(huì)用極限的計(jì)算。

比如，存在一個(gè)路程和時(shí)間的公式：S=t²+2t+10 （S表示路程，t表示時(shí)間）

計(jì)算瞬時(shí)速度時(shí)，步驟如下：

• 假設(shè)初始路程S
• 經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間后，路程變?yōu)?Delta;S=(t+Δt)²+2(t+Δt)+10
• 此時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度為：V=(ΔS−S?)/Δt
• 當(dāng)Δt趨向于0時(shí)，此速度V即為瞬時(shí)速度。

用Sympy來(lái)實(shí)現(xiàn)很方便：

# 2. 順時(shí)速度
t = Symbol("t")
s_t = t * t + 2 * t + 10
delta_t = Symbol("delta_t")
s_delta = s_t.subs({t: t + delta_t})
expr = Limit((s_delta - s_t) / delta_t, delta_t, 0)
expr.doit()

運(yùn)行結(jié)果：2t+2

這就是瞬時(shí)速度和時(shí)間的關(guān)系，通過(guò)這個(gè)公式，就能算出每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)速度。

3. 微分計(jì)算

微分計(jì)算可以看做是一種求極限的運(yùn)算方式，通過(guò)微分的運(yùn)算規(guī)則，求極限更加簡(jiǎn)單。

3.1. 導(dǎo)數(shù)

還是上面瞬時(shí)速度的例子，用微分的方式，可以更快的得到結(jié)果。

from sympy import Derivative
#導(dǎo)數(shù)
s = t * t + 2 * t + 10
Derivative(s, t).doit()

運(yùn)行的結(jié)果：2t+2，和上面求極限的方式計(jì)算的結(jié)果一樣。

3.2. 偏導(dǎo)數(shù)

當(dāng)函數(shù)的變量不止一個(gè)的時(shí)候，可以分別對(duì)不同的變量求導(dǎo)，這也就是偏導(dǎo)數(shù)。

比如函數(shù)：f(x,y)=5x²+6y²+10xy+2x+3y

• 對(duì)變量x的偏導(dǎo)數(shù)：df(x,y)/dx=10x+10y+2
• 對(duì)變量y的偏導(dǎo)數(shù)：df(x,y)/dy=10x+12y+3

Sympy 實(shí)現(xiàn)方式：

f_xy = 5 * x * x + 6 * y * y + 10 * x * y + 2 * x + 3 * y
dx = Derivative(f_xy, x).doit()
dy = Derivative(f_xy, y).doit()

運(yùn)行結(jié)果：dx=10x+10y+2，dy=10x+12y+3

3.3. 高階導(dǎo)數(shù)

上面的微分計(jì)算求解的都是一階導(dǎo)數(shù)，在尋找函數(shù)全局極值點(diǎn)的時(shí)候，還要用到高階導(dǎo)數(shù)。

計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)也簡(jiǎn)單，上面 Derivative 函數(shù)的第三個(gè)參數(shù)就是求導(dǎo)的階數(shù)（默認(rèn)是1）。

#高階導(dǎo)數(shù)
f = x**5 - 3 * x**3 + 5 * x
#3階導(dǎo)數(shù)
dx3 = Derivative(f, x, 3).doit()
#4階導(dǎo)數(shù)
dx4 = Derivative(f, x, 4).doit()

運(yùn)行結(jié)果：dx3=6(10x²−3)，dx4=120x

4. 積分計(jì)算

積分是微分的逆運(yùn)算，手動(dòng)計(jì)算的話一般需要查詢積分表，非常麻煩。

使用Sympy的話，就是一行代碼的事兒。

from sympy import Integral
expr = 2 * x
Integral(expr).doit()

運(yùn)行結(jié)果：x²

除了可以得到積分后的表達(dá)式，也可以直接計(jì)算積分的值。

比如計(jì)算：∫_2.5^7.5(x²+2)

expr = x * x + 2
Integral(expr, (x, 2.5, 7.5)).doit()
#運(yùn)行結(jié)果：145.416666666667

5. 總結(jié)回顧

本篇主要介紹了Sympy在微積分方面的使用方法。

不過(guò)，能夠計(jì)算微積分這些還不是Sympy吸引我的地方，它最主要的特色是能夠符號(hào)化程序中的變量和表達(dá)式，這樣就使得編寫的程序和用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)的過(guò)程極其類似，可以更加直觀的表達(dá)自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。

PS.

我在jupyter notebook中使用 Sympy 時(shí)，發(fā)現(xiàn)直接顯示Sympy的變量和表達(dá)式都非常漂亮，都是Latex格式的。

以上就是Python+Sympy實(shí)現(xiàn)計(jì)算微積分的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于Python Sympy計(jì)算微積分的資料請(qǐng)關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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