一. 引言

浮點(diǎn)數(shù)精度問題是指在計(jì)算機(jī)中使用二進(jìn)制表示浮點(diǎn)數(shù)時(shí)，由于二進(jìn)制無法精確表示某些十進(jìn)制小數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果可能存在舍入誤差或不精確的情況。

這個(gè)問題主要源于浮點(diǎn)數(shù)的存儲(chǔ)方式。在計(jì)算機(jī)中，浮點(diǎn)數(shù)通常使用IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)來表示。該標(biāo)準(zhǔn)將浮點(diǎn)數(shù)分為符號(hào)位、指數(shù)位和尾數(shù)位，使用科學(xué)計(jì)數(shù)法來表示一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)。

二. 常見浮點(diǎn)數(shù)精度問題

1. 示例一：浮點(diǎn)值運(yùn)算結(jié)果

// 加法 
console.log(0.1 + 0.2); // 0.30000000000000004
console.log(0.7 + 0.1); // 0.7999999999999999
console.log(0.2 + 0.4); // 0.6000000000000001
console.log(2.22 + 0.1); // 2.3200000000000003
 
// 減法
console.log(1.5 - 1.2); // 0.30000000000000004
console.log(0.3 - 0.2); // 0.09999999999999998
 
// 乘法 
console.log(19.9 * 100); // 1989.9999999999998
console.log(19.9 * 10 * 10); // 1990
console.log(9.7 * 100); // 969.9999999999999
console.log(39.7 * 100); // 3970.0000000000005
 
// 除法 
console.log(0.3 / 0.1); // 2.9999999999999996
console.log(0.69 / 10); // 0.06899999999999999

運(yùn)行結(jié)果如下圖所示：

2. 示例二：小數(shù)乘以10的n次方取整（比如：元轉(zhuǎn)分，米轉(zhuǎn)厘米）

console.log(parseInt(0.58 * 100, 10)); // 57

在上面的例子中，我們得出的結(jié)果是 57，而不是預(yù)期結(jié)果 58。

3. 示例三：四舍五入保留 n 位小數(shù)

例如我們會(huì)寫出 (number).toFixed(2) ，但是看下面的例子：

console.log((1.335).toFixed(2)); // 1.33

在上面的例子中，我們得出的結(jié)果是 1.33，而不是預(yù)期結(jié)果 1.34。

三. 為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果

1. 浮點(diǎn)數(shù)表示

在計(jì)算機(jī)中，浮點(diǎn)數(shù)通常使用IEEE 754標(biāo)準(zhǔn)來表示。該標(biāo)準(zhǔn)將浮點(diǎn)數(shù)分為符號(hào)位、指數(shù)位和尾數(shù)位，使用科學(xué)計(jì)數(shù)法來表示一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)。

該規(guī)范定義了浮點(diǎn)數(shù)的格式，對(duì)于 64 位的浮點(diǎn)數(shù)在內(nèi)存中的表示，最高的 1 位是符號(hào)位，接著的 11 位是指數(shù)，剩下的 52 位為有效數(shù)字，具體表示方式如下：

• 符號(hào)位 S：用于表示正負(fù)號(hào)。第 1 位是正負(fù)數(shù)符號(hào)位（sign），0 代表正數(shù)，1 代表負(fù)數(shù)。

• 指數(shù)位 E：用于表示浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)部分，以二進(jìn)制補(bǔ)碼形式存儲(chǔ)。中間的 11 位存儲(chǔ)指數(shù)（exponent），用來表示次方數(shù)。

• 尾數(shù)位 M：用于表示浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字部分，以二進(jìn)制形式存儲(chǔ)。最后的 52 位是尾數(shù)（mantissa），儲(chǔ)存小數(shù)部分，超出的部分自動(dòng)進(jìn)一舍零。

即：浮點(diǎn)數(shù)最終在運(yùn)算的時(shí)候?qū)嶋H上是一個(gè)符合該標(biāo)準(zhǔn)的二進(jìn)制數(shù)

符號(hào)位決定了一個(gè)數(shù)的正負(fù)，指數(shù)部分決定了數(shù)值的大小，小數(shù)部分決定了數(shù)值的精度。

IEEE 754 規(guī)定，有效數(shù)字第一位默認(rèn)總是 1，不保存在 64 位浮點(diǎn)數(shù)之中。也就是說，有效數(shù)字總是 1.xx…xx 的形式，其中 xx…xx 的部分保存在 64 位浮點(diǎn)數(shù)之中，最長(zhǎng)可能為 52 位。因此，JavaScript 提供的有效數(shù)字最長(zhǎng)為 53 個(gè)二進(jìn)制位（64 位浮點(diǎn)的后 52 位 + 有效數(shù)字第一位的 1）。

既然限定位數(shù)，必然有截?cái)嗟目赡堋?/p>

2. 舉例說明

示例一

console.log(0.1 + 0.2); // 0.30000000000000004

為了驗(yàn)證該例子，我們得先知道怎么將浮點(diǎn)數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，整數(shù)我們可以用除 2 取余的方式，小數(shù)我們則可以用乘 2 取整的方式。

*0.1* 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

0.1 * 2，值為 0.2，小數(shù)部分 0.2，整數(shù)部分 0

0.2 * 2，值為 0.4，小數(shù)部分 0.4，整數(shù)部分 0

0.4 * 2，值為 0.8，小數(shù)部分 0.8，整數(shù)部分 0

0.8 * 2，值為 1.6，小數(shù)部分 0.6，整數(shù)部分 1

0.6 * 2，值為 1.2，小數(shù)部分 0.2，整數(shù)部分 1

0.2 * 2，值為 0.4，小數(shù)部分 0.4，整數(shù)部分 0

從 0.2 開始循環(huán)

*0.2* 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

可以直接參考上述，肯定最后也是一個(gè)循環(huán)的情況

所以最終我們能得到兩個(gè)循環(huán)的二進(jìn)制數(shù)：

0.1：0.0001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1100 ...

0.2：0.0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 ...

這兩個(gè)的和的二進(jìn)制就是：

sum：0.0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 ...

最終我們只能得到和的近似值（按照 IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)保留 52 位，按 0 舍 1 入來取值），然后轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)變成：

sum ≈ 0.30000000000000004

示例二

console.log((1.335).toFixed(2)); // 1.33

因?yàn)?nbsp;1.335 其實(shí)是 1.33499999999999996447286321199，toFixed 雖然是四舍五入，但是是對(duì) 1.33499999999999996447286321199 進(jìn)行四五入，所以得出 1.33。

示例三

在 Javascript 中，整數(shù)精度同樣存在問題，先來看看問題：

console.log(19571992547450991) // 19571992547450990
console.log(19571992547450991 === 19571992547450992) // true

如下圖所示：

同樣的原因，在 JavaScript 中 number 類型統(tǒng)一按浮點(diǎn)數(shù)處理，整數(shù)是按最大 54 位來算。

• 最大( 253 - 1，Number.MAX_SAFE_INTEGER、9007199254740991)

• 最小( -(253 - 1) ，Number.MIN_SAFE_INTEGER、*-9007199254740991*)

在浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算中，有一些特定的小數(shù)情況可以避免舍入誤差。這是因?yàn)檫@些特定的小數(shù)可以精確地表示為二進(jìn)制分?jǐn)?shù)，而不會(huì)導(dǎo)致舍入誤差。以下是一些常見的特定情況：

• 小數(shù)部分是2的負(fù)整數(shù)次冪：例如，0.5、0.25、0.125等。這些小數(shù)在二進(jìn)制中可以精確表示，因此計(jì)算時(shí)不會(huì)出現(xiàn)舍入誤差。

• 小數(shù)部分是10的負(fù)整數(shù)次冪：例如，0.1、0.01、0.001等。盡管在十進(jìn)制中無法精確表示，但在二進(jìn)制中可以通過有限位數(shù)進(jìn)行近似表示，并且通常不會(huì)引起明顯的舍入誤差。

四. 總結(jié)

浮點(diǎn)數(shù)精度問題是計(jì)算機(jī)科學(xué)中一個(gè)常見的問題，由于二進(jìn)制無法精確表示某些十進(jìn)制小數(shù)，進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)舍入誤差。為了解決這個(gè)問題，可以使用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算、使用專門的庫(kù)或者比較時(shí)使用誤差范圍。了解浮點(diǎn)數(shù)精度問題對(duì)于開發(fā)人員在處理浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算時(shí)具有重要意義。

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