Prim 算法思想：
從任意一頂點 v0 開始選擇其最近頂點 v1 構成樹 T1，再連接與 T1 最近頂點 v2 構成樹 T2， 如此重復直到所有頂點均在所構成樹中為止。
最小生成樹（MST）：權值最小的生成樹。
生成樹和最小生成樹的應用：要連通n個城市需要n－1條邊線路?？梢园堰吷系臋嘀到忉尀榫€路的造價。則最小生成樹表示使其造價最小的生成樹。
構造網(wǎng)的最小生成樹必須解決下面兩個問題：
1、盡可能選取權值小的邊，但不能構成回路；
2、選取n－1條恰當?shù)倪呉赃B通n個頂點；
MST性質：假設G＝(V,E)是一個連通網(wǎng)，U是頂點V的一個非空子集。若(u,v)是一條具有最小權值的邊，其中u∈U，v∈V－U，則必存在一棵包含邊(u,v)的最小生成樹。
prim算法假設G＝(V，E)是連通的，TE是G上最小生成樹中邊的集合。算法從U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}開始。重復執(zhí)行下列操作：
在所有u∈U，v∈V－U的邊(u，v)∈E中找一條權值最小的邊(u0,v0)并入集合TE中，同時v0并入U，直到V＝U為止。
此時，TE中必有n-1條邊，T=(V，TE)為G的最小生成樹。
 Prim算法的核心:始終保持TE中的邊集構成一棵生成樹。
注意：prim算法適合稠密圖，其時間復雜度為O(n^2)，其時間復雜度與邊得數(shù)目無關，而kruskal算法的時間復雜度為O(eloge)跟邊的數(shù)目有關，適合稀疏圖。
舉個簡單的例子來說明具體的實現(xiàn)方法：

G:圖，用鄰接矩陣表示
vcount:表示圖的頂點個數(shù)
max_vertexes:圖最大節(jié)點數(shù)
infinity:為無窮大
數(shù)組存儲從0開始
由于最小生成樹包含每個頂點，那么頂點的選中與否就可以直接用一個數(shù)組來標記used[max_vertexes];（我們這里直接使用程序代碼中的變量定義，這樣也易于理解）；當選中一個數(shù)組的時候那么就標記，現(xiàn)在就有一個問題，怎么來選擇最小權值邊，注意這里最小權值邊是有限制的，邊的一個頂點一定在已選頂點中，另一個頂點當然就是在未選頂點集合中了。我最初的一個想法就是窮搜了，就是在一個集合中選擇一個頂點，來查找到另一個集合中的最小值，這樣雖然很易于理解，但是很明顯效率不是很高，在嚴蔚敏的《數(shù)據(jù)結構》上提供了一種比較好的方法來解決：設置兩個輔助數(shù)組lowcost[max_vertexes]和closeset[max_vertexes]，lowcost[max_vertexes]數(shù)組記錄從U到V－U具有最小代價的邊。對于每個頂點v∈V－U,closedge[v], closeset[max_vertexes]記錄了該邊依附的在U中的頂點。

Prim 算法步驟：
T0 存放生成樹的邊，初值為空
輸入加權圖的帶權鄰接矩陣 C = (Cij)n×n (兩點間無邊相連則其大小為無窮)
為每個頂點 v 添加一屬性 L(v) ：表 v 到 T0 的最小直接距離
（1) T0←∅, V1={v0}, C(T0)=0
（2) 對任意v ∈ V，L(v)←C(v, v0)
（3) If V==V1 then stop else goto next.
（4) 在 V-V1 中找點 u 使 L(u) =min{ L(v) | v ∈ (V − V1 )},記 V1 中與 u 相鄰點為 w.
（5) T0←T0∪{(u, w)}, C(T0) ←C(T0)+C(u, w), V1←V1∪{u}
（6) 對任意v ∈ (V − V1 ) if C(v, u)<L(v) then L(v) = C(v, u) else L(v)不變。
（7) Go to 3.

C++實現(xiàn)示例
prim.txt中的內容:

1 2 6
1 3 1
1 4 5
2 3 5
2 5 3
3 4 5
3 5 6
3 6 4
5 6 6
4 6 2

 
程序代碼：

#include<stdo.h>
#include<string.h>
#include <stdlib.h>
 
#define infinity 1000000 //  定義兩個不直接相鄰一步到達頂點的距離 
#define max_vertexes 6 //  定義圖形中頂點的個數(shù)
 
typedef int Graph[max_vertexes][max_vertexes];// 邊上的權值
 
void prim(Graph G,int vcount,int father[])
{  
  int i,j,k;
  int lowcost[max_vertexes];//最小代價邊上的權值
  int closeset[max_vertexes],used[max_vertexes];//依附在U中的頂點；標記是否已被選中
  int min;
  int result=0;//記錄最短距離權值的和
 
 
  for (i=0;i<vcoun;k++)  //初始化所有數(shù)組，把最短距離初始化為其他頂點到1結點的距離
  {
      lowcost[i]=G[0][i]; 
      closeset[i]=0;   
   used[i]=0;  
   father[i]=-1;   
  }  
  used[0]=1;
 
 
  
  for (i=1;i<=vcount-1;i++)   
  {   
   j=0;
    min = infinity;
      
   for (k=1;k<count;k++) //for循環(huán)得到離結點最近的頂點j
   if ((!used[k])&&(lowcost[k]
   {
    min = lowcost[k];
    j=k;
   }
   father[j]=closeset[j]; 
   printf("%d %d\n",j+1,father[j]+1);//輸出當前找到的結點，該頂點依附的上一個結點
   result=result+G[j][closeset[j]];
   used[j]=1;;//把第j個頂點并入了U中  
   for (k=1;k
        
   if (!used[k]&&(G[j][k]保留到k的最短路徑
 
    {
      lowcost[k]=G[j][k];   
      closeset[k]=j;
    }   
  }
  printf("%d",result);
}
        
int main()
{
  FILE *fr;
  int i,j,weight;
  Graph G;
  int fatheer[max_vertexes];
  for(i=0; i<max_vertexes;i++)
  for(j=0; j<max_vertexer;i++)
  G[i][j] = infinity;
  fr = fopen("prim.txt","r");
  if(!fr)
  {
   printf("fopen failed\n");
   exit(1);
  }
  while(fscanf(fr,"%d%d%d", &i, &j, &weight) != EOF)
  {
   G[i-1][j-1] = weight;
   G[j-1][i-1] = weight;
  }
 
  prim(G,max_vertexes,fatheer);
  return 0;
 
}

測試的結果如下：

最新評論