紅黑樹
紅黑樹是一種數(shù)據(jù)結構與算法課堂上常常提到但又不會細講的樹，也是技術面試中經(jīng)常被問到的樹，然而無論是書上還是網(wǎng)上的資料，通常都比較刻板難以理解，能不能一種比較直觀的方式來理解紅黑樹呢？本文將以圖形的方式來解釋紅黑樹的插入與刪除操作。
對樹結構的學習是一個遞進的過程，我們通常所接觸的樹都是二叉樹，二叉樹簡單來說就是每個非葉子節(jié)點都有且只有兩個孩子，分別叫做左孩子和右孩子。二叉樹中有一類特殊的樹叫二叉查找樹，二叉查找樹是一種有序的樹，對于每個非葉子節(jié)點，其左子樹的值都小于它，其右子樹的值都大于它。比二叉查找樹更進一步的是二叉平衡樹，二叉平衡樹除了保證有序外，還能夠保持每個節(jié)點左右子樹的高度相差不超過1。常見的平衡樹有AVL樹，Treap，紅黑樹，伸展樹，等等。
紅黑樹是一種二叉查找樹，但在每個節(jié)點上增加一個存儲位表示節(jié)點的顏色，可以是RED或BLACK。通過對任何一條從根到葉子的路徑上各個節(jié)點著色方式的限制，紅黑樹確保沒有一條路徑會比其他路徑長出兩倍，因而是接近平衡的。
紅黑樹滿足一下5個性質：

• 每個節(jié)點是紅色或者黑色；
• 根節(jié)點是黑色；
• 每個葉子節(jié)點NIL是黑色；
• 如果一個節(jié)點是紅色，則它的兩個孩子都是黑色；（每條路徑上不能有兩個連續(xù)的紅色節(jié)點）
• 任一節(jié)點到其所有子孫葉子節(jié)點NIL的路徑上包含相同數(shù)目的黑色節(jié)點。

注意，在紅黑樹中，把傳統(tǒng)二叉樹的葉子節(jié)點的孩子指向NIL，稱NIL為紅黑樹中的葉子節(jié)點。NIL節(jié)點中含有指向父節(jié)點的指針，這可能是需要把null改為NIL的原因。

一、插入操作
首先以二叉查找樹的插入方式（插入的新節(jié)點都在葉子節(jié)點處）插入新的節(jié)點，并將其繪為紅色。然后再重繪其顏色或旋轉以保持紅黑樹的性質，調整分為以下三種情況：
1 新節(jié)點N沒有父節(jié)點（即位于根上）
將新節(jié)點N繪為黑色。

2 新節(jié)點N的父節(jié)點P為黑色
不用調整。

3 新節(jié)點N的父節(jié)點P為紅色
因為紅黑樹不允許有兩個連續(xù)的紅色節(jié)點（性質4），所以需要調整，根據(jù)N的叔父節(jié)點顏色分為兩種情況：（我們以 N的父節(jié)點P為左孩子為例，P為右孩子的情況類似，不再詳述）
3.1 新節(jié)點N的叔父節(jié)點U為紅色
將新節(jié)點N的父節(jié)點P和叔父節(jié)點U都繪為黑色，將其祖父節(jié)點G繪為紅色，這樣保證從G到每個null節(jié)點的路徑上所包含的黑色節(jié)點個數(shù)與原來保持一致。但由于我們把G變成了紅色，如果G的父親也是紅色，就可能導致連續(xù)兩個紅色節(jié)點（違反性質4），所以，需要重新檢查G是否違反了紅黑樹性質。

3.2 新節(jié)點N的叔父節(jié)點U為黑色
若新節(jié)點N是其父節(jié)點P的左孩子：將其父節(jié)點P繪為黑色，祖父節(jié)點G繪為紅色，然后對G進行一次右旋轉。

若新節(jié)點N是其父節(jié)點P的右孩子：對其父節(jié)點進行一次左旋轉，問題轉化為左孩子的情況。

二、刪除操作
《算法導論》和維基百科上的做法都是，當刪除一個黑色節(jié)點D時，把D的黑色“下推”至其子節(jié)點C，也就是說C除了本身的顏色外多了一重額外的黑色，然后不斷把這重額外的黑色沿樹上移，直到碰到一個紅色節(jié)點，把其變?yōu)楹谏员ＷC路徑上黑色節(jié)點數(shù)目不變，或者移到樹的根部，這樣所有路徑上的黑色節(jié)點數(shù)目都減一，保持相等。上移過程中可能需要旋轉和修改一些節(jié)點的顏色，以保證路徑上黑色節(jié)點數(shù)目不變。
這種做法可能有利于代碼的實現(xiàn)（可用迭代的方式），但卻不便于理解（個人認為）。本著理解優(yōu)先的目的，我根據(jù)被刪除節(jié)點D的孩子是否為NIL做如下分類：
1 被刪除節(jié)點D的兩個孩子都是NIL
1.1 被刪除節(jié)點D是紅色
用NIL替換D即可。

1.2 被刪除節(jié)點D是黑色（我們以D是左孩子為例）
1.2.1 被刪除節(jié)點D的兄弟節(jié)點B的兩個孩子都為NIL
將D的兄弟節(jié)點B繪為紅色，父節(jié)點P繪為黑色。

圖中半紅半黑表示該節(jié)點可能為紅色，也可能為黑色。如果P原來是紅色，這樣修改后路徑上的黑色節(jié)點數(shù)目和刪除D之前一樣；如果P原來是黑色，那么刪除D后會導致路徑上黑色節(jié)點的數(shù)目比刪除前少了一個，所以還需繼續(xù)檢查經(jīng)過P的路徑上黑色節(jié)點數(shù)目的改變是否影響了紅黑樹的性質。
1.2.2 被刪除節(jié)點D的兄弟節(jié)點B有一個孩子不為NIL
這個孩子一定是紅色的，否則從D的父節(jié)點到各個葉子節(jié)點的路徑上黑色節(jié)點的數(shù)目就會不等（違反性質5）。
若這個孩子為右孩子，將B的這個右孩子繪為黑色，B繪為其父節(jié)點P原來的顏色，P繪為黑色，然后對P進行一次左旋轉。

若這個孩子為左孩子，將B的這個左孩子繪為黑色，B繪為紅色，然后對B進行一次右旋轉，問題轉化為右孩子的情況。

1.2.3 被刪除節(jié)點D的兄弟節(jié)點B的兩個孩子都不為NIL
若B為紅色，則B的兩個孩子一定為黑色。將B繪為黑色，B的左孩子繪為紅色，然后對P進行一次左旋轉。

若B為黑色，則B的兩個孩子一定為紅色。將B的父節(jié)點P繪為黑色，B的右孩子繪為黑色，B繪為其父節(jié)點P原來的顏色，然后對P進行一次左旋轉。

2 被刪除節(jié)點D的兩個孩子都不是NIL
按照二叉查找樹刪除節(jié)點的方法找到D的后繼節(jié)點S，交換D和S的內容（顏色保持不變），被刪除節(jié)點變?yōu)镾，如果S有不為NIL的節(jié)點，那么繼續(xù)用S的后繼節(jié)點替換S，直到被刪除節(jié)點的兩個孩子都為NIL，問題轉化為被刪除節(jié)點D的兩個孩子都為NIL的情況。
3 被刪除節(jié)點D有一個孩子不是NIL
這個孩子C一定是紅色節(jié)點，否則從D到各個NIL節(jié)點的路徑上的黑色節(jié)點數(shù)目就會不同（違反性質5）。
交換D和C的內容（顏色保持不變），被刪除節(jié)點變?yōu)镃，問題轉化為被刪除節(jié)點D的兩個孩子都為NIL的情況。

二叉樹的遍歷
二叉樹的遍歷有三種：前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。每種遍歷的實現(xiàn)又有遞歸和迭代兩種，這篇文章我們來討論如何用比較優(yōu)雅的代碼來實現(xiàn)二叉樹的遍歷。
首先我來定義一個二叉樹的節(jié)點：

public class TreeNode {
  int val;
  TreeNode left;
  TreeNode right;
  
  public TreeNode(int x) {
    val = x;
  }
}

 
一、前序遍歷（Preorder Traversal）
簡單來講，前序遍歷就是先訪問父節(jié)點，再訪問左孩子，最后訪問右孩子，即以父、左、右的順序來遍歷。
遞歸實現(xiàn)非常簡單，代碼如下：

public class Solution {
  List<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
  
  public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
    dfs(root);
    return result;
  }
  
  private void dfs(TreeNode root) {
    if (root == null) {
      return;
    } 
    result.add(root.val);
    dfs(root.left);
    dfs(root.right);
  }
}

迭代實現(xiàn)需要借助一個棧，存儲沒被訪問的右節(jié)點，代碼如下：

public class Solution {
 
  public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
    List<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
    
    if (root == null) {
      return result;
    }
    
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
    stack.push(root);
    
    while (!stack.isEmpty()) {
      TreeNode curr = stack.pop();
      result.add(curr.val);
      
      if (curr.right != null) {
        stack.push(curr.right);
      }
      if (curr.left != null) {
        stack.push(curr.left);
      }
    }
    
    return result;
  }
}

 
二、中序遍歷（Inorder Traversal）
簡單來講，中序遍歷就是先訪問左孩子，再訪問父節(jié)點，最后訪問右孩子，即以左、父、右的順序遍歷。
遞歸代碼也比較容易，如下所示：

public class Solution {
 
  public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
    List<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
    recurse(root, result);
    return result;
  }
  
  private void recurse(TreeNode root, List<Integer> result) {
    if (root == null) return;
    recurse(root.left, result);
    result.add(root.val);
    recurse(root.right, result);
  }
}

上面這種寫法有別于前序遍歷的遞歸代碼，前序遍歷的遞歸我們使用了成員變量來存儲遍歷的結果，這里我們使用方法參數(shù)來保存遍歷的結果。兩種寫法都可以，喜歡哪種就使用哪種。
中序遍歷的迭代實現(xiàn)沒有前序遍歷那么簡單，雖然也需要借助一個棧，但迭代終止的條件卻有所不同。想象一下，對于一棵二叉樹，我們最先訪問的節(jié)點是其最左邊的節(jié)點，我們當然可以通過一個 while 循環(huán)到達其最左邊，可是當我們回退時，我們如何知道某個節(jié)點的左孩子是否已經(jīng)訪問過了？我們使用一個 curr 變量記錄當前訪問的節(jié)點，當我們把一棵子樹的右節(jié)點都訪問完畢時，我們就該回退該子樹的父節(jié)點了，而此時 curr 為 null，所以我們可以以此來區(qū)分一個節(jié)點的左子樹是否已被訪問過。代碼如下：

public class Solution {
  
  public List<Integer> inorderTraversal(TreeNode root) {
    List<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
    
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
    TreeNode curr = root;
    
    while (curr != null || !stack.isEmpty()) {
      while (curr != null) {
        stack.push(curr);
        curr = curr.left;
      }
      curr = stack.pop();
      result.add(curr.val);
      
      curr = curr.right;
    }
    
    return result;
  }
}

 
三、后序遍歷（Postorder Traversal）
簡單來講，后序遍歷就是先訪問左孩子，在訪問右孩子，最后訪問父節(jié)點， 即以左、右、父的順序遍歷。
仿照中序遍歷，可以很容易地寫出后序遍歷的遞歸實現(xiàn)：

public class Solution {
 
  public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
    List<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
    recurse(root, result);
    return result;
  }
  
  private void recurse(TreeNode root, List<Integer> result) {
    if (root == null) return;
    recurse(root.left, result);
    recurse(root.right, result);
    result.add(root.val);
  }
}

后序遍歷的迭代，也需要一個標識要區(qū)分一個節(jié)點的左右孩子是否已經(jīng)訪問過了，如果沒有，則依次訪問其左右孩子，如果訪問過了，則訪問該節(jié)點。為此，我們用一個 pre 變量來表示上一個訪問的節(jié)點，如果上一個訪問的節(jié)點是當前節(jié)點的左孩子或右孩子，那么說明當前節(jié)點的左右孩子已經(jīng)訪問過了，那么就可以訪問該節(jié)點了，否則，則需要進入左右孩子依次訪問。代碼如下：

public class Solution {
 
  public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
    List<Integer> result = new LinkedList<Integer>();
    
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
    if (root != null) stack.push(root);
    
    TreeNode pre = root;
    
    while (!stack.isEmpty()) {
      TreeNode curr = stack.peek();
      if (curr.left == pre || curr.right == pre || (curr.left == null && curr.right == null)) {
        result.add(curr.val);
        stack.pop();
        pre = curr;
      } else {
        if (curr.right != null) stack.push(curr.right);
        if (curr.left != null) stack.push(curr.left);
      }
    }
    
    return result;
  }
}

后序遍歷的迭代還有另外一種比較簡單的實現(xiàn)，我們知道先序遍歷的順序是父、左、右，而后序遍歷的順序是左、右、父，那么如果我們把先序遍歷稍作修改，改成父、右、左的順序，那么就剛好與后序遍歷的順序相反了，以如此順序訪問完，最后我們對訪問結果做個反轉就可以了。而先序遍歷的迭代實現(xiàn)相對來說比較容易，仿照上面寫法我們可以如下實現(xiàn)：

public class Solution {
 
  public List<Integer> postorderTraversal(TreeNode root) {
    List<Integer> result = new LinkedList<Integer>();
    
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
    if (root != null) stack.push(root);
    
    while (!stack.isEmpty()) {
      TreeNode curr = stack.pop();
      result.add(curr.val);
      if (curr.left != null) stack.push(curr.left);
      if (curr.right != null) stack.push(curr.right);
    }
 
    Collections.reverse(result);
    
    return result;
  }
}

 
四、總結
三種遍歷的遞歸實現(xiàn)都很容易。前序遍歷的迭代實現(xiàn)最好寫，只需要一個棧就好；中序遍歷最難，循環(huán)條件除了判斷棧是否為空，還要判斷當前節(jié)點是否為空，以表示是否左子樹已經(jīng)遍歷完畢；后續(xù)遍歷的迭代如果轉化為前序遍歷的迭代，就容易很多，否則，也需要記錄上一個訪問的節(jié)點，以表示當前節(jié)點的左右子樹是否已經(jīng)訪問完畢。

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