1. 歐幾里德算法

歐幾里德算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法， 用于計(jì)算兩個(gè)整數(shù)a, b的最大公約數(shù)。其計(jì)算原理依賴于下面的定理：
定理： gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

證明：
  a可以表示成a = kb + r, 則r = a mod b
  假設(shè)d是a, b的一個(gè)公約數(shù)， 則有  d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
  因此，d是(b, a mod b)的公約數(shù)。
  加上d是(b，a mod b)的公約數(shù)，則d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公約數(shù)。
  因此，(a, b) 和(a, a mod b)的公約數(shù)是一樣的，其最大公約數(shù)也必然相等，得證。

歐幾里德的Python語(yǔ)言描述為：

def gcd(a, b):
 if a < b:
  a, b = b, a

 while b != 0:
  temp = a % b
  a = b
  b = temp

 return a

2. Stein算法
歐幾里德算法是計(jì)算兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)的傳統(tǒng)算法，無(wú)論是理論，還是從效率上都是很好的。但是他有一個(gè)致命的缺陷，這個(gè)缺陷只有在很大的素?cái)?shù)時(shí)才會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)。
考慮現(xiàn)在的硬件平臺(tái)，一般整數(shù)最多也就是64位， 對(duì)于這樣的整數(shù)，計(jì)算兩個(gè)數(shù)值就的模很簡(jiǎn)單的。對(duì)于字長(zhǎng)為32位的平臺(tái)，計(jì)算兩個(gè)不超過(guò)32位的整數(shù)的模，只需要一個(gè)指令周期，而計(jì)算64位以下的整數(shù)模，也不過(guò)幾個(gè)周期而已。但是對(duì)于更大的素?cái)?shù)，這樣的計(jì)算過(guò)程就不得不由用戶來(lái)設(shè)計(jì)，為了計(jì)算兩個(gè)超過(guò)64位的整數(shù)的模，用戶也許不得不采用類(lèi)似于多位除法手算過(guò)程中的試商法，這個(gè)過(guò)程不但復(fù)雜，而且消耗了很多CPU時(shí)間。對(duì)于現(xiàn)代密碼算法，要求計(jì)算128位以上的素?cái)?shù)的情況比比皆是，設(shè)計(jì)這樣的程序迫切希望能夠拋棄除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出，這個(gè)方法也是計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。和歐幾里德算法不同的是，Stein算法只有整數(shù)的移位和加減法，這對(duì)于程序設(shè)計(jì)者是一個(gè)福音。
為了說(shuō)明Stein算法的正確性，首先必須注意到以下結(jié)論：
  gcd(a, a) = a， 也就是一個(gè)數(shù)和他自己的公約數(shù)是其自身。
  gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)，也就是最大公約數(shù)運(yùn)算和倍乘運(yùn)算可以交換，特殊的，當(dāng)k=2時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)偶數(shù)的最大公約數(shù)比如能被2整除。
Stein算法的python實(shí)現(xiàn)如下：

def gcd_Stein(a, b):  
  if a < b:
    a, b = b, a
  if (0 == b):
    return a
  if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:
    return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)
  if a % 2 == 0:
    return gcd_Stein(a / 2, b)
  if b % 2 == 0:
    return gcd_Stein(a, b / 2)
  
  return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2) 

3. 一般求解實(shí)現(xiàn)

核心代碼很簡(jiǎn)單：

def gcd(a, b):
if b == 0:return a
return gcd(b, a % b)

附上一個(gè)用Python實(shí)現(xiàn)求最大公約數(shù)同時(shí)判斷是否是素?cái)?shù)的一般方法：
程序如下:

#!/usr/bin/env python 
 
def showMaxFactor(num): 
  count = num / 2  
  while count > 1: 
    if num % count == 0: 
      print 'largest factor of %d is %d' % (num, count) 
      break    #break跳出時(shí)會(huì)跳出下面的else語(yǔ)句 
    count -= 1 
  else: 
    print num, "is prime" 
 
for eachNum in range(10,21): 
  showMaxFactor(eachNum) 

輸出如下:

largest factor of 10 is 5
11 is prime
largest factor of 12 is 6
13 is prime
largest factor of 14 is 7
largest factor of 15 is 5
largest factor of 16 is 8
17 is prime
largest factor of 18 is 9
19 is prime
largest factor of 20 is 10

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