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深入理解卡特蘭數(shù)及其應(yīng)用

更新時(shí)間：2013年05月28日 17:49:23 作者：

本篇文章是對(duì)卡特蘭數(shù)及其應(yīng)用進(jìn)行了詳細(xì)的分析介紹，需要的朋友參考下

Catalan number，卡特蘭數(shù)又稱(chēng)卡塔蘭數(shù)，是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)常出現(xiàn)在各種計(jì)數(shù)問(wèn)題中出現(xiàn)的數(shù)列。以比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。

令h(0)=1,h(1)=1，catalan數(shù)滿足遞推式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

catalan數(shù)公式的一般是形式為：

$C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$

遞推關(guān)系：

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.$

它也滿足

$C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$
這提供了一個(gè)更快速的方法來(lái)計(jì)算卡塔蘭數(shù)。

卡特蘭數(shù)的應(yīng)用n個(gè)元素順序入棧，出棧順序有多少種？此問(wèn)題是一個(gè)卡特蘭數(shù)問(wèn)題，證明過(guò)程如下：

令1表示進(jìn)棧，0表示出棧，則可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)2n位、含n個(gè)1、n個(gè)0的二進(jìn)制數(shù)，滿足從左往右掃描到任意一位時(shí)，經(jīng)過(guò)的0數(shù)不多于1數(shù)。顯然含n個(gè)1、n個(gè)0的2n位二進(jìn)制數(shù)共有 ${2n \choose n}$ 個(gè)，下面考慮不滿足要求的數(shù)目。

考慮一個(gè)含n個(gè)1、n個(gè)0的2n位二進(jìn)制數(shù)，掃描到第2m+1位上時(shí)有m+1個(gè)0和m個(gè)1（容易證明一定存在這樣的情況），則后面的0-1排列中必有n-m個(gè)1和n-m-1個(gè)0。將2m+2及其以后的部分0變成1、1變成0，則對(duì)應(yīng)一個(gè)n+1個(gè)0和n-1個(gè)1的二進(jìn)制數(shù)。

反過(guò)來(lái)，任何一個(gè)由n+1個(gè)0和n-1個(gè)1組成的2n位二進(jìn)制數(shù)，由于0的個(gè)數(shù)多2個(gè)，2n為偶數(shù)，故必在某一個(gè)奇數(shù)位上出現(xiàn)0的累計(jì)數(shù)超過(guò)1的累計(jì)數(shù)。同樣在后面部分0和1互換，使之成為由n個(gè)0和n個(gè)1組成的2n位數(shù)，即n+1個(gè)0和n-1個(gè)1組成的2n位數(shù)必對(duì)應(yīng)一個(gè)不符合要求的數(shù)。
因而不合要求的2n位數(shù)與n+1個(gè)0，n－1個(gè)1組成的排列一一對(duì)應(yīng)。顯然，不符合要求的方案數(shù)為c(2n,n+1)。

從而 $C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ 。證畢。

括號(hào)化問(wèn)題如，矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據(jù)乘法結(jié)合律，不改變其順序，只用括號(hào)表示成對(duì)的乘積，試問(wèn)有幾種括號(hào)化的方案？(h(n)種)

出棧次序問(wèn)題　　
1、一個(gè)棧(無(wú)窮大)的進(jìn)棧序列為1,2,3,..n,有多少個(gè)不同的出棧序列?
2、有2n個(gè)人排成一行進(jìn)入劇場(chǎng)。入場(chǎng)費(fèi)5元。其中只有n個(gè)人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無(wú)其它鈔票，問(wèn)有多少中方法使得只要有10元的人買(mǎi)票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達(dá)視作將5元入棧，持10元者到達(dá)視作使棧中某5元出棧)。

將多邊行劃分為三角形問(wèn)題　　
1、將一個(gè)凸多邊形區(qū)域分成三角形區(qū)域的方法數(shù)?
2、一位大城市的律師在她住所以北n個(gè)街區(qū)和以東n個(gè)街區(qū)處工作。每天她走2n個(gè)街區(qū)去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對(duì)角線，那么有多少條可能的道路？
3、在圓上選擇2n個(gè)點(diǎn),將這些點(diǎn)成對(duì)連接起來(lái)使得所得到的n條線段不相交的方法數(shù)?

給頂節(jié)點(diǎn)組成二叉樹(shù)的問(wèn)題　　給定N個(gè)節(jié)點(diǎn)，能構(gòu)成多少種不同的二叉樹(shù)？

一些筆試題
1、16個(gè)人按順序去買(mǎi)燒餅，其中8個(gè)人每人身上只有一張5塊錢(qián)，另外8個(gè)人每人身上只有一張10塊錢(qián)。燒餅5塊一個(gè)，開(kāi)始時(shí)燒餅店老板身上沒(méi)有錢(qián)。16個(gè)顧客互相不通氣，每人只買(mǎi)一個(gè)。問(wèn)這16個(gè)人共有多少種排列方法能避免找不開(kāi)錢(qián)的情況出現(xiàn)。
h(8)=16!/(8!*9!)=1430，所以總數(shù)=h(8)*8！*8！=16!/9
2、在圖書(shū)館一共6個(gè)人在排隊(duì)，3個(gè)還《面試寶典》一書(shū)，3個(gè)在借《面試寶典》一書(shū)，圖書(shū)館此時(shí)沒(méi)有了面試寶典了，求他們排隊(duì)的總數(shù)？
h(3)=6!/(3!*4!)=5，所以總數(shù)=h(3)*3!*3!=180