快捷導(dǎo)航

全排列算法的非遞歸實現(xiàn)與遞歸實現(xiàn)的方法(C++)

更新時間：2013年05月24日 15:48:10 作者：

本篇文章是對全排列算法的非遞歸實現(xiàn)與遞歸實現(xiàn)的方法進(jìn)行了詳細(xì)的分析介紹，需要的朋友參考下

（一）非遞歸全排列算法
基本思想是:
    1.找到所有排列中最小的一個排列P.
    2.找到剛剛好比P大比其它都小的排列Q,
    3.循環(huán)執(zhí)行第二步,直到找到一個最大的排列,算法結(jié)束.
下面用數(shù)學(xué)的方法描述:
給定已知序列 P = A1A2A3An ( Ai!=Aj , (1<=i<=n , 1<=j<=n, i != j ) )
找到P的一個最小排列Pmin = P1P2P3Pn 有 Pi > P(i-1) (1 < i <= n)
從Pmin開始,總是目前得到的最大的排列為輸入,得到下一個排列.
方法為:
1.從低位到高位（從后向前），找出“不符合趨勢”的數(shù)字。即找到一個Pi，使Pi < P(i+1)。
若找不到這樣的pi，說明我們已經(jīng)找到最后一個全排列，可以返回了。
2.在 P(i+1)P(i+2)Pn 中,找到一個Pj,便得 Pj"剛剛好大于"Pi.
("剛剛好大于"的意思是:在 P(i+1)P(i+2)Pn 中所有大于Pi的元素構(gòu)成的集合中最小的元素.)
3.交換 Pi , Pj 的位置.注意:此處不改變i和j的值,改變的是Pi和Pj.
4.交換后， P1P2P3Pn 并不是準(zhǔn)確的后一個排列。因為根據(jù)第1步的查找，我們有P(i+1) > P(i+2) > . > Pn
即使進(jìn)行了Pi和Pj的交換,這仍然是這一部分最大的一個排列。將此排列逆序倒置(變成最小的排列)即為所求的下一個排列.
5.重復(fù)步驟1-4,直到步驟1中找不到“不符合趨勢”的數(shù)字.

復(fù)制代碼代碼如下:

//交換數(shù)組a中下標(biāo)為i和j的兩個元素的值
void swap(int* a,int i,int j)
{
    a[i]^=a[j];
    a[j]^=a[i];
    a[i]^=a[j];
}

//將數(shù)組a中的下標(biāo)i到下標(biāo)j之間的所有元素逆序倒置
void reverse(int a[],int i,int j)
{
    for(;i<j;++i,--j)
    {
         swap(a,i,j);
    }
}

void print(int a[],int length)
{
    for(int i=0;i<length;++i)
         cout<<a[i]<<" ";
    cout<<endl;
}

//求取全排列，打印結(jié)果
void combination(int a[],int length)
{
    if(length<2) return;

    bool end=false;
    while(true)
    {
         print(a,length);

         int i,j;
         //找到不符合趨勢的元素的下標(biāo)i
         for(i=length-2;i>=0;--i)
         {
             if(a[i]<a[i+1]) break;
             else if(i==0) return;
         }

         for(j=length-1;j>i;--j)
         {
             if(a[j]>a[i]) break;
         }

         swap(a,i,j);
         reverse(a,i+1,length-1);
    }
}

（二）遞歸算法
令E= {e1 , ..., en }表示n 個元素的集合，我們的目標(biāo)是生成該集合的所有排列方式。令Ei 為E中移去元素i 以后所獲得的集合，perm (X) 表示集合X 中元素的排列方式，ei . p e r m(X)表示在perm (X) 中的每個排列方式的前面均加上ei 以后所得到的排列方式。例如，如果E= {a, b, c}，那么E1= {b, c}，perm (E1 ) = ( b c, c b)，e1 .perm (E1) = (a b c, a c b)。對于遞歸的基本部分，采用n = 1。當(dāng)只有一個元素時，只可能產(chǎn)生一種排列方式，所以perm (E) = ( e)，其中e 是E 中的唯一元素。當(dāng)n > 1時，perm (E) = e1 .perm (E1 ) +e2 .p e r m(E2 ) +e3.perm (E3) + ⋯ +en .perm (En )。這種遞歸定義形式是采用n 個perm (X) 來定義perm (E), 其中每個X 包含n- 1個元素。至此，一個完整的遞歸定義所需要的基本部分和遞歸部分都已完成。
當(dāng)n= 3并且E=（a, b, c）時，按照前面的遞歸定義可得perm (E) =a.perm ( {b, c} ) +b.perm ( {a,c} ) +c.perm ( {a, b} )。同樣，按照遞歸定義有perm ( {b, c} ) =b.perm ( {c} ) +c.perm ( ), 所以a.perm ( {b, c} ) = ab.perm ( {c} ) + ac.perm ( ) = a b . c + ac.b = (a b c, a c b)。同理可得b.perm ( {a, c}) = ba.perm ( {c}) + bc.perm ( {a}) = b a . c + b c . a = (b a c, b c a)，c.perm ( {a, b}) =ca.perm ( ) + cb.perm ( {a}) = c a . b + c b . a = (c a b, c b a)。所以perm (E) = (a b c, a c b, b a c, b c a,c a b, c b a)。注意a.perm ( {b, c} )實際上包含兩個排列方式：abc 和a c b，a 是它們的前綴，perm ( {b, c} )是它們的后綴。同樣地，ac.perm ( ) 表示前綴為a c、后綴為perm ( ) 的排列方式。程序1 - 1 0把上述perm (E) 的遞歸定義轉(zhuǎn)變成一個C++ 函數(shù)，這段代碼輸出所有前綴為l i s t [ 0：k-1], 后綴為l i s t [ k：m] 的排列方式。調(diào)用Perm(list, 0, n-1) 將得到list[0: n-1] 的所有n! 個排列方式，在該調(diào)用中，k=0, m= n - 1，因此排列方式的前綴為空，后綴為list[0: n-1] 產(chǎn)生的所有排列方式。當(dāng)k =m 時，僅有一個后綴l i s t [ m ]，因此list[0: m] 即是所要產(chǎn)生的輸出。當(dāng)k<m時，先用list[k] 與l i s t [ k：m] 中的每個元素進(jìn)行交換，然后產(chǎn)生list[k+1: m] 的所有排列方式，并用它作為list[0: k] 的后綴。S w a p是一個inline 函數(shù)，它被用來交換兩個變量的值

復(fù)制代碼代碼如下:

template <class T>
inline void Swap(T& a, T& b)
{
    // 交換a和b
    T temp = a; a = b; b = temp;
}

template<class T>
void Perm(T list[], int k, int m)
{
    //生成list [k：m ]的所有排列方式
    int i;
    if (k == m)
    {
         //輸出一個排列方式
         for (i = 0; i <= m; i++)
             cout << list [i];
         cout << endl;
    }
    else // list[k：m ]有多個排列方式
    {
         // 遞歸地產(chǎn)生這些排列方式
         for (i=k; i <= m; i++)
         {
             Swap (list[k], list[i]);
             Perm (list, k+1, m);
             Swap (list [k], list [i]);
         }
    } 
}