技術(shù)背景

本文主要涵蓋兩個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)點(diǎn)：python的魔法函數(shù)和量子計(jì)算模擬，我們可以通過一個(gè)實(shí)際的案例來先審視一下這兩個(gè)需求是如何被結(jié)合起來的。

量子計(jì)算模擬背景

ProjectQ是一個(gè)非常優(yōu)雅的開源量子計(jì)算編程框架，其原作者是來自與瑞士聯(lián)邦理工的博士Damian和Thomas。該量子計(jì)算編程框架是一個(gè)從量子計(jì)算應(yīng)用->量子線路編譯->哈密頓量模擬->量子計(jì)算模擬->量子硬件API對接都有相應(yīng)實(shí)現(xiàn)的、非常全面的量子計(jì)算編程框架。其開源地址為：https://github.com/ProjectQ-Framework/ProjectQ，支持使用pip進(jìn)行安裝：python3 -m pip install projectq --upgrade。

下面來看一個(gè)例子，關(guān)于如何使用projectq進(jìn)行量子計(jì)算的模擬：

[dechin@dechin-manjaro simulator]$ ipython
Python 3.8.5 (default, Sep  4 2020, 07:30:14) 
Type 'copyright', 'credits' or 'license' for more information
IPython 7.19.0 -- An enhanced Interactive Python. Type '?' for help.
 
In [1]: from projectq import MainEngine
 
In [2]: from projectq.ops import X
 
In [3]: eng = MainEngine()
 
In [4]: qubits = eng.allocate_qureg(2)
 
In [5]: X | qubits[0]
 
In [6]: from projectq.ops import CX
 
In [7]: CX | (qubits[0], qubits[1])
 
In [8]: eng.flush()
 
In [9]: print (eng.backend.cheat()[1])
[0j, 0j, 0j, (1+0j)]

在這個(gè)案例中，我們一共分配了2個(gè)量子比特，這2個(gè)比特的初始狀態(tài)都是|0⟩態(tài)，對應(yīng)于projectq輸出的amplitude矢量應(yīng)為[1, 0, 0, 0]。這個(gè)矢量中的4個(gè)元素，分別對應(yīng)00,01,10,11這四個(gè)量子態(tài)可能出現(xiàn)的概率幅，如果需要計(jì)算某一個(gè)態(tài)被測量所出現(xiàn)的概率的話，需要對其進(jìn)行取模平方操作：

P(00)=(a₀₀+b₀₀i)(a₀₀−b₀₀i)

注意概率幅是一個(gè)復(fù)數(shù)(Complex Number)，因此需要取厄米共軛之后再進(jìn)行點(diǎn)乘操作。

那么回到上述projectq的使用案例，這個(gè)案例在分配了兩個(gè)比特之后，對其中的第一個(gè)比特執(zhí)行了泡利矩陣σ^X操作，然后又執(zhí)行了一個(gè)糾纏門操作CX。這里CX(i,j)量子門操作對應(yīng)的操作為：如果量子比特i處于|0⟩態(tài)，不進(jìn)行任何的操作;但是如果量子比特i出于|1⟩態(tài)，則對量子比特j執(zhí)行取反操作，也就是說，如果原來j是|0⟩就會(huì)變成|1⟩，如果原來j是|1⟩就會(huì)變成|0⟩。這就是量子糾纏在量子計(jì)算中的作用，而多比特的門操作在實(shí)際的硬件體系中的高質(zhì)量實(shí)現(xiàn)，目前依舊是一大難題。而量子疊加特性就體現(xiàn)在，一個(gè)量子比特可能處于|0⟩態(tài)，也可能處于|1⟩態(tài)，還有可能處在|0⟩和|1⟩的中間態(tài)，這種中間態(tài)會(huì)以上述提到的概率幅的形式來對|0⟩和|1⟩進(jìn)行劃分：

P(0)=(a₀+b₀i)⋅(a₀−b₀i)

P(1)=(a₁+b₁i)⋅(a₁−b₁i)

這些的概率幅就可以用一個(gè)矢量的形式組織起來：

|ψ⟩=(a₀+b₀i,a₁+b₁i)^T

最終這個(gè)矢量的元素個(gè)數(shù)會(huì)隨著比特?cái)?shù)的增加而指數(shù)增長，當(dāng)比特?cái)?shù)增長到41時(shí)，所需要存儲(chǔ)的內(nèi)存空間需要32TB以上！要注意的是，因?yàn)橛?jì)算過程中需要將所有的概率幅加載到內(nèi)存中，所以這里區(qū)別于硬盤存儲(chǔ)空間，單指內(nèi)存就需要到32TB的大?。∫虼?，使用經(jīng)典計(jì)算機(jī)去模擬量子計(jì)算，其實(shí)是一種非常消耗資源的手段。當(dāng)然，量子計(jì)算模擬器依然有其研究的價(jià)值，在現(xiàn)階段量子芯片規(guī)模和質(zhì)量無法提升的狀態(tài)下，模擬器就起到了重要的作用。

Python的魔法函數(shù)實(shí)現(xiàn)

如果讀者需要了解詳細(xì)全面Python的魔法函數(shù)的實(shí)現(xiàn)方案，可以從本文的參考鏈接中獲取兩篇不錯(cuò)的文章。這里我們僅針對上述projectq的代碼用例中所可能使用到的部分功能：__or__和__str__，并且可以針對其進(jìn)行一個(gè)簡單的復(fù)現(xiàn)。

Python的魔法函數(shù)可用于定義一個(gè)類(class)的特殊運(yùn)算算符，如：類的加減乘除等，在引入魔法函數(shù)之后，就不需要單獨(dú)對類中的元素進(jìn)行操作，而可以用魔法函數(shù)對操作進(jìn)行封裝。最后的效果，我們可以直接在代碼中使用操作符對不同的類進(jìn)行操作，比如可以自定義class1 + class2這樣的二元操作算符。在本章節(jié)我們不詳細(xì)展開介紹，可以參考下述的具體使用示例或者參考鏈接中的博文。

量子態(tài)定義及實(shí)現(xiàn)

根據(jù)第一個(gè)章節(jié)中對量子態(tài)矢量的介紹，這里我們可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)簡單的量子態(tài)的類，我們可以僅考慮兩個(gè)量子比特的簡單系統(tǒng)：

# QubitPair.py
import numpy as np
 
class QubitPair:
    def __init__(self):
        self.state = np.array([1, 0, 0, 0], dtype=complex)
 
    def __str__(self):
        return str(self.state)

這個(gè)量子態(tài)的類的定義非常簡單，就是一個(gè)4×1的矩陣。需要補(bǔ)充說明的是，這里我們定義了一個(gè)__str__(self)的魔法函數(shù)，該函數(shù)主要用于打印類的字符串表示，如我們這里直接將量子態(tài)矢量轉(zhuǎn)化成str格式之后進(jìn)行輸出。那么我們?nèi)绻rint一個(gè)自定義的QubitPair類的話，就會(huì)展示當(dāng)前類所對應(yīng)的概率幅的字符串表示。

量子門操作定義及實(shí)現(xiàn)

關(guān)于量子門操作，我們可以將其視作作用在量子態(tài)矢量上的矩陣，這里我們可以先展示定義好的門操作的Python類再對其進(jìn)行展開說明：

# Operator.py
import numpy as np
 
class QubitOperator:
    """Pauli rotations and entanglement on qubit-pair"""
    def __init__(self, operation=None, theta=0, index=0):
        self.index = index
        self.name = operation
        paulix = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
        pauliy = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
        pauliz = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
        cnot = np.array([[1, 0, 0, 0],
                         [0, 1, 0, 0],
                         [0, 0, 0, 1],
                         [0, 0, 1, 0]])
        if operation == 'X' or operation == 'Rx':
            self.operation = np.cos(theta/2)*np.identity(2)-1j*np.sin(theta/2)*paulix
        elif operation == 'Y' or operation == 'Ry':
            self.operation = np.cos(theta/2)*np.identity(2)-1j*np.sin(theta/2)*pauliy
        elif operation == 'Z' or operation == 'Rz':
            self.operation = np.cos(theta/2)*np.identity(2)-1j*np.sin(theta/2)*pauliz
        elif operation == 'CX' or operation == 'CNOT':
            self.operation = cnot
 
    def __or__(self, qubitpair):
        if self.name == 'CX' or self.name == 'CNOT':
            qubitpair.state = np.dot(self.operation, qubitpair.state)
            return None
        elif self.index == 0:
            operation = np.kron(self.operation, np.identity(2))
        else:
            operation = np.kron(np.identity(2), self.operation)
        qubitpair.state = np.dot(operation, qubitpair.state)

單位矩陣與泡利矩陣的定義

這些是基本的泡利矩陣，這三個(gè)兩能級體系的泡利矩陣具有非常好的物理性質(zhì)，如都是酉矩陣且存在特殊的對易關(guān)系等：

矩陣指數(shù)與旋轉(zhuǎn)門操作

矩陣的指數(shù)計(jì)算一般采用泰勒級數(shù)展開的方法來進(jìn)行定義：

這里如果我們代入上述介紹的泡利矩陣就會(huì)得到這樣的結(jié)果：

CX門操作的定義

在上述提到的所有的量子門操作中，CX是唯一的一個(gè)兩比特量子門操作，也就是同時(shí)作用在兩個(gè)量子比特上面，其矩陣形式的定義如下所示：

使用魔法函數(shù)__or__來實(shí)現(xiàn)量子門操作運(yùn)算

我們首先簡單談一下為什么要用__or__這個(gè)魔法函數(shù)而不是其他的二元運(yùn)算符來實(shí)現(xiàn)，這點(diǎn)跟開源庫ProjectQ是同步的，理由是我們在量子力學(xué)中的運(yùn)算，一般寫成如下的形式：

|ψt⟩=U|ψ0⟩

將量子態(tài)寫成狄拉克符號(hào)的形式，中文稱為"左矢"和"右矢"，英文稱之為"bra"和"ket"。因此豎線形式的定義，在形式上會(huì)更加契合量子力學(xué)的思維，當(dāng)然，就算是換成其他的符號(hào)也是無可厚非的。

功能測試驗(yàn)證

在定義了量子態(tài)的類和量子門操作的類之后，我們可以寫如下所示的一個(gè)測試腳本來測試程序的執(zhí)行效果：

# TestQubits.py
from QubitPair import QubitPair
from Operator import QubitOperator
 
if __name__ == '__main__':
    qubits = QubitPair()
    print ('The initial state is: {}'.format(qubits))
    QubitOperator('X', 3.1415926, 0) | qubits
    print ('Applying X on the 0th qubit...')
    print ('The new state is: {}'.format(qubits))
    QubitOperator('CX') | qubits
    print ('Applying entanglement on qubits...')
    print ('The new state is: {}'.format(qubits))
    QubitOperator('X', 3.1415926, 0) | qubits
    print ('Applying X on the 0th qubit...')
    print ('The new state is: {}'.format(qubits))
    QubitOperator('CX') | qubits
    print ('Applying entanglement on qubits...')
    print ('The new state is: {}'.format(qubits))

這個(gè)程序的測試邏輯為：先定義一個(gè)兩比特的量子系統(tǒng)，然后對第一個(gè)比特執(zhí)行X門操作，使得其從|0⟩態(tài)變成|1⟩態(tài)，再對這兩個(gè)比特執(zhí)行糾纏門CX操作，觀察其態(tài)的變化情況。之后再將第一個(gè)比特的狀態(tài)變回|0⟩態(tài)，再觀察作用CX的態(tài)的變化情況，執(zhí)行結(jié)果如下所示：

[dechin@dechin-manjaro simulator]$ python3 TestQubits.py 
The initial state is: [1.+0.j 0.+0.j 0.+0.j 0.+0.j]
Applying X on the 0th qubit...
The new state is: [2.67948966e-08+0.j 0.00000000e+00+0.j 0.00000000e+00-1.j
 0.00000000e+00+0.j]
Applying entanglement on qubits...
The new state is: [2.67948966e-08+0.j 0.00000000e+00+0.j 0.00000000e+00+0.j
 0.00000000e+00-1.j]
Applying X on the 0th qubit...
The new state is: [ 7.17966483e-16+0.00000000e+00j -1.00000000e+00+0.00000000e+00j
  0.00000000e+00-2.67948966e-08j  0.00000000e+00-2.67948966e-08j]
Applying entanglement on qubits...
The new state is: [ 7.17966483e-16+0.00000000e+00j -1.00000000e+00+0.00000000e+00j
  0.00000000e+00-2.67948966e-08j  0.00000000e+00-2.67948966e-08j]

這個(gè)結(jié)果所展示出來的數(shù)字也許比較亂，這是因?yàn)樵谶\(yùn)算過程中的計(jì)算精度不足所導(dǎo)致的，這里低于1e-06的數(shù)字其實(shí)我們可以認(rèn)為就是0。那么我們從這個(gè)結(jié)果中可以分析總結(jié)出量子態(tài)的演變歷程：

|00⟩⇒|10⟩⇒|11⟩⇒|01⟩⇒|01⟩

注意：上面的這種寫法，其實(shí)不太合乎程序語言的邏輯，一般從右到左的方向才是從低位到高位的寫法。因此，嚴(yán)格來說寫法應(yīng)該是：|00⟩⇒|01⟩⇒|11⟩⇒|10⟩⇒|10⟩。

這里我們就完成了基于魔法函數(shù)的量子計(jì)算模擬的過程，感興趣的讀者可以自行嘗試更多的玩法，這里就不進(jìn)行更多的測試了！

總結(jié)概要

本文主要嘗試了用Python的魔法函數(shù)__str__來定義一個(gè)量子態(tài)，以及使用__or__來定義一個(gè)量子門操作的運(yùn)算，我們附帶的也簡單介紹了一下量子計(jì)算模擬的一些背景知識(shí)。因?yàn)槌绦蛴泻唵味鞔_的執(zhí)行邏輯，因此用程序語言的方式來定義和理解科學(xué)常識(shí)，也能夠加深對科學(xué)的理解。

到此這篇關(guān)于詳解Python中的魔法函數(shù)與量子計(jì)算模擬的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python魔法函數(shù) 量子計(jì)算內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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