層次分析法（The analytic hierarchy process）簡(jiǎn)稱(chēng)AHP，在20世紀(jì)70年代中期由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家托馬斯.塞蒂（T.L.saaty）正式提出。

它是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復(fù)雜的決策問(wèn)題上的實(shí)用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。

它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理、能源政策和分配、行為科學(xué)、軍事指揮、運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領(lǐng)域。

計(jì)算步驟

1、建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標(biāo)層，通常只有1個(gè)因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮樱虚g可以有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則過(guò)多時(shí)(譬如多于9個(gè))應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。

2、構(gòu)造成對(duì)比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開(kāi)始，對(duì)于從屬于(或影響)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和1—9比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，直到最下層。

3、計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)。對(duì)于每一個(gè)成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過(guò)，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量：若不通過(guò)，需重新構(gòu)造成對(duì)比較陣。

4、計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)。計(jì)算最下層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)通過(guò)，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對(duì)比較陣。

案例

（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型

層次分析法的基本思路與人對(duì)一個(gè)復(fù)雜的決策問(wèn)題的思維、判斷過(guò)程大體上是一樣的。

不妨用選拔干部為例：對(duì)三個(gè)干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型： 假設(shè)有三個(gè)干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型

（2）構(gòu)造判斷矩陣

在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Saaty等人提出：一致矩陣法，即：不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。

對(duì)比時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。

比較第 i 個(gè)元素與第 j 個(gè)元素相對(duì)上一層某個(gè)因素的重要性時(shí)，使用數(shù)量化的相對(duì)權(quán)重aij來(lái)描述。設(shè)共有 n 個(gè)元素參與比較，則稱(chēng)為成對(duì)比較矩陣。

成對(duì)比較矩陣中aij的取值可參考 Satty 的提議，按下述標(biāo)度進(jìn)行賦值。aij在 1-9 及其倒數(shù)中間取值。

• aij = 1，元素 i 與元素 j 對(duì)上一層次因素的重要性相同；
• aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要；
• aij = 5，元素 i 比元素 j 重要；
• aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多；
• aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要；
• aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于
• aij = 2n − 1與aij = 2n + 1之間；
• ，n=1,2,...,9， 當(dāng)且僅當(dāng)aji = n。

成對(duì)比較矩陣的特點(diǎn)：。（備注：當(dāng)i=j時(shí)候，aij = 1）

對(duì)該例 2， 選拔干部考慮5個(gè)條件：品德x1，才能x2，資歷x3，年齡x4，群眾關(guān)系x5。某決策人用成對(duì)比較法，得到成對(duì)比較陣如下：

a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認(rèn)為品德比年齡重要。

（3）判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)

所謂一致性是指判斷思維的邏輯一致性。如當(dāng)甲比丙是強(qiáng)烈重要，而乙比丙是稍微重要時(shí)，顯然甲一定比乙重要。這就是判斷思維的邏輯一致性，否則判斷就會(huì)有矛盾。

從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對(duì)比較矩陣，應(yīng)該有

但實(shí)際上在構(gòu)造成對(duì)比較矩陣時(shí)要求滿(mǎn)足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對(duì)比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對(duì)比較矩陣存在一定程度的不一致性。

由分析可知，對(duì)完全一致的成對(duì)比較矩陣，其絕對(duì)值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對(duì)成對(duì)比較矩陣 的一致性要求，轉(zhuǎn)化為要求： 的絕對(duì)值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。

檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣A一致性的步驟如下：

計(jì)算衡量一個(gè)成對(duì)比較矩陣 A （n>1 階方陣）不一致程度的指標(biāo)CI：

RI是這樣得到的:對(duì)于固定的n,隨機(jī)構(gòu)造成對(duì)比較陣A, 其中aij是從1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9中隨機(jī)抽取的. 這樣的A是不一致的, 取充分大的子樣得到A的最大特征值的平均值

注解：

• 從有關(guān)資料查出檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣 A 一致性的標(biāo)準(zhǔn)RI：RI稱(chēng)為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它只與矩陣階數(shù) n 有關(guān)。
• 按下面公式計(jì)算成對(duì)比較陣 A 的隨機(jī)一致性比率 CR：
• 

判斷方法如下： 當(dāng)CR<0.1時(shí)，判定成對(duì)比較陣 A 具有滿(mǎn)意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調(diào)整成對(duì)比較矩陣 A，直到達(dá)到滿(mǎn)意的一致性為止。

例如對(duì)例 2 的矩陣

計(jì)算得到,查得RI=1.12，

這說(shuō)明 A 不是一致陣，但 A 具有滿(mǎn)意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。

此時(shí)A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 這個(gè)向量也是問(wèn)題所需要的。通常要將該向量標(biāo)準(zhǔn)化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特征向量標(biāo)準(zhǔn)化后變成U = (0.475,0.263,0.051,0.103,0.126)Z。經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后這個(gè)向量稱(chēng)為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時(shí)，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對(duì)重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。

求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語(yǔ)句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），D為成對(duì)比較陣 的特征值，Y的列為相應(yīng)特征向量。

在實(shí)踐中，可采用下述方法計(jì)算對(duì)成對(duì)比較陣A = (aij)的最大特征值λmax(A)和相應(yīng)特征向量的近似值。

定義

，

可以近似地看作A的對(duì)應(yīng)于最大特征值的特征向量。

計(jì)算

可以近似看作A的最大特征值。實(shí)踐中可以由λ來(lái)判斷矩陣A的一致性

（4） 層次總排序及決策

現(xiàn)在來(lái)完整地解決例 2 的問(wèn)題，要從三個(gè)候選人y1,y2,y3中選一個(gè)總體上最適合上述五個(gè)條件的候選人。對(duì)此，對(duì)三個(gè)候選人y = y1,y2,y3分別比較他們的品德(x1)，才能(x2)，資歷(x3)，年齡(x4)，群眾關(guān)系(x5)。

先成對(duì)比較三個(gè)候選人的品德，得成對(duì)比較陣

經(jīng)計(jì)算，B1的權(quán)向量

ωx1(Y) = (0.082,0.236,0.682)z

故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y)可以直觀(guān)地視為各候選人在品德方面的得分。

類(lèi)似地，分別比較三個(gè)候選人的才能，資歷，年齡，群眾關(guān)系得成對(duì)比較陣

通過(guò)計(jì)算知，相應(yīng)的權(quán)向量為

它們可分別視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關(guān)系分。經(jīng)檢驗(yàn)知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。

最后計(jì)算各候選人的總得分。y1的總得分

從計(jì)算公式可知，y1的總得分ω(y1)實(shí)際上是y1各條件得分ωx1(y1) ,ωx2(y1) ,...,ωx5(y1) ,的加權(quán)平均, 權(quán)就是各條件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分為

ωz(y2) = 0.243,ωz(y3) = 0.452

即排名:Y3 > Y1 > Y2

比較后可得：候選人y3是第一干部人選。

優(yōu)缺點(diǎn)

（一）優(yōu)點(diǎn)

1. 系統(tǒng)性的分析方法：

層次分析法把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)展起來(lái)的系統(tǒng)分析的重要工具。

2. 簡(jiǎn)潔實(shí)用的決策方法：

這種方法既不單純追求高深數(shù)學(xué)，又不片面地注重行為、邏輯、推理，而是把定性方法與定量方法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。

3. 所需定量數(shù)據(jù)信息較少：

層次分析法主要是從評(píng)價(jià)者對(duì)評(píng)價(jià)問(wèn)題的本質(zhì)、要素的理解出發(fā)，比一般的定量方法更講求定性的分析和判斷。

（二）缺點(diǎn)

1. 不能為決策提供新方案：

層次分析法的作用是從備選方案中選擇較優(yōu)者。這個(gè)作用正好說(shuō)明了層次分析法只能從原有方案中進(jìn)行選取，而不能為決策者提供解決問(wèn)題的新方案。

2. 定量數(shù)據(jù)較少，定性成分多，不易令人信服：

在如今對(duì)科學(xué)的方法的評(píng)價(jià)中，一般都認(rèn)為一門(mén)科學(xué)需要比較嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證和完善的定量方法。但現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題和人腦考慮問(wèn)題的過(guò)程很多時(shí)候并不是能簡(jiǎn)單地用數(shù)字來(lái)說(shuō)明一切的。

3. 指標(biāo)過(guò)多時(shí)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量大，且權(quán)重難以確定：

當(dāng)我們希望能解決較普遍的問(wèn)題時(shí)，指標(biāo)的選取數(shù)量很可能也就隨之增加。

4. 特征值和特征向量的精確求法比較復(fù)雜：

在求判斷矩陣的特征值和特征向量時(shí)，所用的方法和我們多元統(tǒng)計(jì)所用的方法是一樣的。

注意事項(xiàng)

如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關(guān)系不正確，都會(huì)降低AHP法的結(jié)果質(zhì)量，甚至導(dǎo)致AHP法決策失敗。

為保證遞階層次結(jié)構(gòu)的合理性，需把握以下原則：

• 1、分解簡(jiǎn)化問(wèn)題時(shí)把握主要因素，不漏不多；
• 2、注意相比較元素之間的強(qiáng)度關(guān)系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。

四層AHP

上面例子是只有目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層，下面的結(jié)構(gòu)多了子準(zhǔn)則層，并且準(zhǔn)則層對(duì)應(yīng)不同的子準(zhǔn)則層

總結(jié)

以上為個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，希望能給大家一個(gè)參考，也希望大家多多支持腳本之家。

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