二叉查找樹(shù)（Binary Search Tree），或者是一棵空樹(shù)，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹(shù)：

• 若它的左子樹(shù)不空，則左子樹(shù)上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于它的根結(jié)點(diǎn)的值；

• 若它的右子樹(shù)不空，則右子樹(shù)上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于它的根結(jié)點(diǎn)的值；

• 它的左、右子樹(shù)也分別為二叉排序樹(shù)。

二叉排序樹(shù)的查找過(guò)程和次優(yōu)二叉樹(shù)類似，通常采取二叉鏈表作為二叉排序樹(shù)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。中序遍歷二叉排序樹(shù)可得到一個(gè)關(guān)鍵字的有序序列，一個(gè)無(wú)序序列可以通過(guò)構(gòu)造一棵二叉排序樹(shù)變成一個(gè)有序序列，構(gòu)造樹(shù)的過(guò)程即為對(duì)無(wú)序序列進(jìn)行排序的過(guò)程。每次插入的新的結(jié)點(diǎn)都是二叉排序樹(shù)上新的葉子結(jié)點(diǎn)，在進(jìn)行插入操作時(shí)，不必移動(dòng)其它結(jié)點(diǎn)，只需改動(dòng)某個(gè)結(jié)點(diǎn)的指針，由空變?yōu)榉强占纯?。搜?插入,刪除的復(fù)雜度等于樹(shù)高，O(log(n))。

圖 1. 三層二叉查找樹(shù)

二叉排序樹(shù)典型的用途是實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)數(shù)組，一種常用的定義方式為：

class BiTree<TKey,TValue> where TKey:IComparable
{
    public TKey Key { get; set; }
    public TValue Value { get; set; }

    BiTree<TKey, TValue> Left { get; set; }
    BiTree<TKey, TValue> Right { get; set; }

    public BiTree(TKey key,TValue value)
    {
        this.Key = key;
        this.Value = value;
    }
}

二叉排序樹(shù)的查找算法

在二叉排序樹(shù)b中查找x的過(guò)程為：

• 若b是空樹(shù)，則搜索失敗，否則：

• 若x等于b的根結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域之值，則查找成功；否則：

• 若x小于b的根結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域之值，則搜索左子樹(shù)；否則：

• 查找右子樹(shù)。

public TValue Search(TKey key)
{
    int ret = key.CompareTo(this.Key);

    if (ret == 0)
    {
        return Value;
    }
    else
    {
        var subTree = ret < 0 ? Left : Right;
        if (subTree == null)
        {
            throw new KeyNotFoundException();
        }
        else
        {
            return subTree.Search(key);
        }
    }
}

在二叉排序樹(shù)插入結(jié)點(diǎn)的算法

一種簡(jiǎn)單的向一個(gè)二叉排序樹(shù)b中插入一個(gè)結(jié)點(diǎn)s的算法為：

• 若b是空樹(shù)，則將s所指結(jié)點(diǎn)作為根結(jié)點(diǎn)插入，否則：

• 若s->data等于b的根結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域之值，則返回，否則：

• 若s->data小于b的根結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)域之值，則把s所指結(jié)點(diǎn)插入到左子樹(shù)中，否則：

• 把s所指結(jié)點(diǎn)插入到右子樹(shù)中。

public void Insert(TKey key, TValue value)
{
    int ret = key.CompareTo(this.Key);

    if (ret == 0)
    {
        this.Value = value;
    }
    else
    {
        var subTree = ret < 0 ? Left : Right;
        if (subTree == null)
        {
            subTree = new BiTree<TKey, TValue>(key, value);
            if (ret < 0)
                Left = subTree;
            else
                Right = subTree;
        }
        else
        {
            subTree.Insert(key, value);
        }
    }
}

在二叉排序樹(shù)刪除結(jié)點(diǎn)的算法

在二叉排序樹(shù)刪去一個(gè)結(jié)點(diǎn)，分三種情況討論：

• 若*p結(jié)點(diǎn)為葉子結(jié)點(diǎn)，即PL(左子樹(shù))和PR(右子樹(shù))均為空樹(shù)。由于刪去葉子結(jié)點(diǎn)不破壞整棵樹(shù)的結(jié)構(gòu)，則只需修改其雙親結(jié)點(diǎn)的指針即可。

• 若*p結(jié)點(diǎn)只有左子樹(shù)PL或右子樹(shù)PR，此時(shí)只要令PL或PR直接成為其雙親結(jié)點(diǎn)*f的左子樹(shù)即可，作此修改也不破壞二叉排序樹(shù)的特性。

• 若*p結(jié)點(diǎn)的左子樹(shù)和右子樹(shù)均不空。在刪去*p之后，為保持其它元素之間的相對(duì)位置不變，可按中序遍歷保持有序進(jìn)行調(diào)整，可以有兩種做法：其一是令*p的左子樹(shù)為*f的左子樹(shù)，*s為*f左子樹(shù)的最右下的結(jié)點(diǎn)，而*p的右子樹(shù)為*s的右子樹(shù)；其二是令*p的直接前驅(qū)（或直接后繼）替代*p，然后再?gòu)亩媾判驑?shù)中刪去它的直接前驅(qū)（或直接后繼）。

二叉排序樹(shù)性的遍歷

二叉排序樹(shù)一般采用先根訪問(wèn)，這樣能將所有元素按大小排序訪問(wèn)。

public void Visit(Action<TKey, TValue> visitor)
{
    if (Left != null)
    {
        Left.Visit(visitor);
    }

    visitor(Key, Value);

    if (Right != null)
    {
        Right.Visit(visitor);
    }
}

二叉排序樹(shù)性能分析

每個(gè)結(jié)點(diǎn)的Ci為該結(jié)點(diǎn)的層次數(shù)。最壞情況下，當(dāng)先后插入的關(guān)鍵字有序時(shí)，構(gòu)成的二叉排序樹(shù)蛻變?yōu)閱沃?shù)，樹(shù)的深度為n，其平均查找長(zhǎng)度為

（和順序查找相同），最好的情況是二叉排序樹(shù)的形態(tài)和折半查找的判定樹(shù)相同，其平均查找長(zhǎng)度和log2(n)成正比（O(log2(n))）。

到此這篇關(guān)于C#實(shí)現(xiàn)二叉查找樹(shù)的文章就介紹到這了。希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助，也希望大家多多支持腳本之家。

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