C++圖論之Bellman-Ford算法和SPFA算法的實現(xiàn)

更新時間：2022年06月14日 15:55:15 作者：玄澈_

貝爾曼-福特算法（Bellman-Ford）是由理查德·貝爾曼和萊斯特·福特創(chuàng)立的，求解單源最短路徑問題的一種算法。SPFA 算法是 Bellman-Ford算法的隊列優(yōu)化算法的別稱，通常用于求含負權邊的單源最短路徑。本文將詳解兩個算法的實現(xiàn)，需要的可以參考一下

Bellman-Ford算法

(x,y,z)表示的是一條從 x 出發(fā)，到達 y ，長度為 z 的有向邊。

首先介紹基于迭代的Bellman-Ford算法，它的流程如下：

1.掃描所有邊(x,y,z)，若dist[y]＞dist[x]+z, 則用dist[x]+z更新dist[y]

2.重復上述操作，直到?jīng)]有更新操作發(fā)生。

Bellman-Ford算法的時間復雜度是O(nm)

通過Bellman-Ford算法我們可以求解有邊數(shù)限制的最短路問題。

例題：AcWing 853. 有邊數(shù)限制的最短路

算法步驟

初始化 dist 數(shù)組為正無窮， dist[1] = 0

（外重循環(huán)）循環(huán) i 從 1 到 n ，遍歷 n 次表示：是不經(jīng)過超過 i 條邊到達終點的最短距離

（內重循環(huán)）循環(huán) i 從 1 到 m，遍歷 m 條邊，把所有的邊都進行松弛操作：

每次取出兩點以及以及連接他們的權重 (a,b,w)

用以下公式更新最短距離： dist[b]=min(dist[b],dist[a]+w)

注意點：

需要把dist數(shù)組進行一個備份，這樣防止每次更新的時候出現(xiàn)串聯(lián)

由于存在負權邊，所以 return -1 的條件是dist[n]＞0x₃f3f3f/2

代碼實現(xiàn)

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
 
const int N = 510, M = 10010;
 
struct Edge
{
    int a, b, w;
}e[M]; // 存下每一條即可
int dist[N];
int back[N]; // 備份數(shù)組放置串聯(lián)
int n, m, k;
 
void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    
    for(int i = 0; i < k; i ++ ) // 不超過k條邊
    {
        memcpy(back, dist, sizeof back);
        for(int j = 0; j < m; j ++ ) // 遍歷所有邊
        {
            int a = e[j].a, b = e[j].b, w = e[j].w;
            dist[b] = min(dist[b], back[a] + w);
        }
    }
}
 
int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        e[i] = {a, b, w};
    }
    
    bellman_ford();
    if(dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");
    else cout << dist[n] << endl;
    
    return 0;
}

SPFA算法

SPFA算法在國際上通稱為“隊列優(yōu)化的“Bellman-Ford算法”。

SPFA算法的流程如下：

1.建立一個隊列，起初隊列中只含有起點1

2.取出頭結點 x ，掃描它的所有出邊(x,y,z)，若dist[y]＞dist[x]+z，則使dist[y]用dist[x]+z來更新。同時若y不再隊列中，則將y入隊

在任意時刻，該算法的隊列都保持了該拓展的節(jié)點。每次入隊都相當于完成了一次 dist 數(shù)組的更新操作，使其滿足三角不等式。一個節(jié)點可能會入隊、出隊多次。最終，圖中所有的結點全部收斂到全部滿足三角不等式的狀態(tài)。

這個隊列避免了對Bellman-Ford算法中不需要拓展的多余結點的冗余掃描，在隨機圖上的運行效率O(km)級別，其中 k 是一個很小的常數(shù)。

代碼實現(xiàn)

SPFA求最短路

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
 
using namespace std;
 
const int N = 1e6 + 10;
 
int n, m;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];
 
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++ ;
}
 
void spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    queue<int> q;
    dist[1] = 0;
    st[1] = true;
    q.push(1);
    
    while(q.size())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        
        st[t] = false;
        
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if(dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if(!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
 
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
 
    spfa();
    
    if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) puts("impossible");
    else printf("%d",dist[n]);
 
    return 0;
}

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