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Java深入分析了解平衡二叉樹

更新時間：2022年06月03日 10:31:15 作者：洛語言

平衡二叉樹又被稱為AVL樹（有別于AVL算法），且具有以下性質(zhì)：它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，并且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。本文將詳解介紹一下平衡二叉樹的原理與實現(xiàn)，需要的可以參考一下

AVL樹的引入

搜索二叉樹有著極高的搜索效率，但是搜索二叉樹會出現(xiàn)以下極端情況：

這樣的二叉樹搜索效率甚至比鏈表還低。在搜索二叉樹基礎(chǔ)上出現(xiàn)的平衡二叉樹(AVL樹)就解決了這樣的問題。當平衡二叉樹(AVL樹)的某個節(jié)點左右子樹高度差的絕對值大于1時，就會通過旋轉(zhuǎn)操作減小它們的高度差。

基本概念

AVL樹本質(zhì)上還是一棵二叉搜索樹，它的特點是：

本身首先是一棵二叉搜索樹。
每個結(jié)點的左右子樹的高度之差的絕對值（平衡因子）最多為1。也就是說，AVL樹，本質(zhì)上是帶了平衡功能的二叉查找樹（二叉排序樹，二叉搜索樹）。
當插入一個節(jié)點或者刪除一個節(jié)點時，導致某一個節(jié)點的左右子樹高度差的絕對值大于1，這時需要通過左旋和右旋的操作使二叉樹再次達到平衡狀態(tài)。

平衡因子(balanceFactor)

一個結(jié)點的左子樹與右子樹的高度之差。
AVL樹中的任意結(jié)點的BF只可能是-1，0和1。

基礎(chǔ)設(shè)計

下面是AVL樹需要的簡單方法和屬性：

public class AVLTree <E extends Comparable<E>>{
    class Node{
        E value;
        Node left;
        Node right;
        int height;
        public Node(){}
        public Node(E value){
            this.value = value;
            height = 1;
            left = null;
            right = null;
        }
        public void display(){
            System.out.print(this.value + " ");
        }
    }
    Node root;
    int size;
    public int size(){
        return size;
    }
    public int getHeight(Node node) {
        if(node == null) return 0;
        return node.height;
    }
    //獲取平衡因子(左右子樹的高度差，大小為1或者0是平衡的，大小大于1不平衡)
    public int getBalanceFactor(){
        return getBalanceFactor(root);
    }
    public int getBalanceFactor(Node node){
        if(node == null) return 0;
        return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
    }
    //判斷一個樹是否是一個平衡二叉樹
    public boolean isBalance(Node node){
        if(node == null) return true;
        int balanceFactor = Math.abs(getBalanceFactor(node.left) - getBalanceFactor(node.right));
        if(balanceFactor > 1) return false;
        return isBalance(node.left) && isBalance(node.right);
    }
    public boolean isBalance(){
        return isBalance(root);
    }
    //中序遍歷樹
    private  void inPrevOrder(Node root){
        if(root == null) return;
        inPrevOrder(root.left);
        root.display();
        inPrevOrder(root.right);
    }
    public void inPrevOrder(){
        System.out.print("中序遍歷：");
        inPrevOrder(root);
    }
}

RR(左旋)

往一個樹右子樹的右子樹上插入一個節(jié)點，導致二叉樹變得不在平衡，如下圖，往平衡二叉樹中插入5，導致這個樹變得不再平衡，此時需要左旋操作，如下：

代碼如下：

//左旋,并且返回新的根節(jié)點
    public Node leftRotate(Node node){
        System.out.println("leftRotate");
       Node cur = node.right;
       node.right = cur.left;
       cur.left = node;
       //跟新node和cur的高度
        node.height = Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)) + 1;
        cur.height = Math.max(getHeight(cur.left),getHeight(cur.right)) + 1;
        return cur;
    }

LL(右旋)

往一個AVL樹左子樹的左子樹上插入一個節(jié)點，導致二叉樹變得不在平衡，如下圖，往平衡二叉樹中插入2，導致這個樹變得不再平衡，此時需要左旋操作，如下：

代碼如下：

 //右旋，并且返回新的根節(jié)點
    public Node rightRotate(Node node){
        System.out.println("rightRotate");
        Node cur = node.left;
        node.left = cur.right;
        cur.right = node;
        //跟新node和cur的高度
        node.height = Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)) + 1;
        cur.height = Math.max(getHeight(cur.left),getHeight(cur.right)) + 1;
        return cur;
    }

LR(先左旋再右旋)

往AVL樹左子樹的右子樹上插入一個節(jié)點，導致該樹不再平衡，需要先對左子樹進行左旋，再對整棵樹右旋，如下圖所示，插入節(jié)點為5.

RL(先右旋再左旋)

往AVL樹右子樹的左子樹上插入一個節(jié)點，導致該樹不再平衡，需要先對右子樹進行右旋，再對整棵樹左旋，如下圖所示，插入節(jié)點為2.

添加節(jié)點

//添加元素
    public  void add(E e){
        root = add(root,e);
    }
    public Node add(Node node, E value) {
        if (node == null) {
            size++;
            return new Node(value);
        }
        if (value.compareTo(node.value) > 0) {
            node.right = add(node.right, value);
        } else if (value.compareTo(node.value) < 0) {
            node.left = add(node.left, value);
        }
        //跟新節(jié)點高度
        node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;
        //獲取當前節(jié)點的平衡因子
        int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
        //該子樹不平衡且新插入節(jié)點(導致不平衡的節(jié)點)在左子樹的左子樹上，此時需要進行右旋
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) {
            return rightRotate(node);
        }
        //該子樹不平衡且新插入節(jié)點(導致不平衡的節(jié)點)在右子樹子樹的右子樹上，此時需要進行左旋
        else if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) {
            return leftRotate(node);
        }
        //該子樹不平衡且新插入節(jié)點(導致不平衡的節(jié)點)在左子樹的右子樹上，此時需要先對左子樹左旋，在整個樹右旋
        else if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
            node.left = leftRotate(node.left);
            return rightRotate(node);
        }
        //balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.left) > 0
        //該子樹不平衡且新插入節(jié)點(導致不平衡的節(jié)點)在右子樹的左子樹上，此時需要先對右子樹右旋，再整個樹左旋
        else if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
            node.right = rightRotate(node.right);
            return leftRotate(node);
        }
        return node;
    }

刪除節(jié)點

 //刪除節(jié)點
    public E remove(E value){
        root = remove(root,value);
        if(root == null){
            return null;
        }
        return root.value;
    }
    public Node remove(Node node, E value){
        Node retNode = null;
        if(node == null)
            return retNode;
        if(value.compareTo(node.value) > 0){
            node.right = remove(node.right,value);
            retNode = node;
        }
        else if(value.compareTo(node.value) < 0){
            node.left = remove(node.left,value);
            retNode = node;
        }
        //value.compareTo(node.value) = 0
        else{
            //左右節(jié)點都為空，或者左節(jié)點為空
            if(node.left == null){
                size--;
                retNode = node.right;
            }
            //右節(jié)點為空
            else if(node.right == null){
                size--;
                retNode = node.left;
            }
            //左右節(jié)點都不為空
            else{
                Node successor = new Node();
                //尋找右子樹最小的節(jié)點
                Node cur = node.right;
                while(cur.left != null){
                    cur = cur.left;
                }
                successor.value  = cur.value;
                successor.right = remove(node.right,value);
                successor.left = node.left;
                node.left =  node.right = null;
                retNode = successor;
            }
            if(retNode == null)
                return null;
            //維護二叉樹平衡
            //跟新height
            retNode.height = Math.max(getHeight(retNode.left),getHeight(retNode.right));
        }
        int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
        //該子樹不平衡且新插入節(jié)點(導致不平衡的節(jié)點)在左子樹的左子樹上，此時需要進行右旋
        if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0) {
            return rightRotate(retNode);
        }
        //該子樹不平衡且新插入節(jié)點(導致不平衡的節(jié)點)在右子樹子樹的右子樹上，此時需要進行左旋
        else if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0) {
            return leftRotate(retNode);
        }
        //該子樹不平衡且新插入節(jié)點(導致不平衡的節(jié)點)在左子樹的右子樹上，此時需要先對左子樹左旋，在整個樹右旋
        else if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
            retNode.left = leftRotate(retNode.left);
            return rightRotate(retNode);
        }
        //該子樹不平衡且新插入節(jié)點(導致不平衡的節(jié)點)在右子樹的左子樹上，此時需要先對右子樹右旋，再整個樹左旋
        else if(balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
            retNode.right = rightRotate(retNode.right);
            return leftRotate(retNode);
        }
        return  retNode;
    }

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