1.前言

1.1 什么是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)？

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(Data Structure)是計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)、組織數(shù)據(jù)的方式，指相互之間存在一種或多種特定關(guān)系的數(shù)據(jù)元素的集合。

1.2 什么是算法？

算法(Algorithm):就是定義良好的計(jì)算過(guò)程，他取一個(gè)或一組的值為輸入，并產(chǎn)生出一個(gè)或一組值作為輸出。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)算法就是一系列的計(jì)算步驟，用來(lái)將輸入數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成輸出結(jié)果。

2.算法效率

2.1 如何衡量一個(gè)算法的好壞

如何衡量一個(gè)算法的好壞呢？比如對(duì)于以下斐波那契數(shù)列：

long long Fib(int N)
{
     if(N < 3)
    	return 1;
    
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

斐波那契數(shù)列的遞歸實(shí)現(xiàn)方式非常簡(jiǎn)潔，但簡(jiǎn)潔一定好嗎？那該如何衡量其好與壞呢？

2.2 算法的復(fù)雜度

算法在編寫成可執(zhí)行程序后，運(yùn)行時(shí)需要耗費(fèi)時(shí)間資源和空間(內(nèi)存)資源 。因此衡量一個(gè)算法的好壞，一般是從時(shí)間和空間兩個(gè)維度來(lái)衡量的，即時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。

時(shí)間復(fù)雜度主要衡量一個(gè)算法的運(yùn)行快慢，而空間復(fù)雜度主要衡量一個(gè)算法運(yùn)行所需要的額外空間。在計(jì)算機(jī)發(fā)展的早期，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量很小。所以對(duì)空間復(fù)雜度很是在乎。但是經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)行業(yè)的迅速發(fā)展，計(jì) 算機(jī)的存儲(chǔ)容量已經(jīng)達(dá)到了很高的程度。所以我們?nèi)缃褚呀?jīng)不需要再特別關(guān)注一個(gè)算法的空間復(fù)雜度

2.3 復(fù)雜度在校招中的考察

3.時(shí)間復(fù)雜度

3.1 時(shí)間復(fù)雜度的概念

時(shí)間復(fù)雜度的定義：在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，算法的時(shí)間復(fù)雜度是一個(gè)函數(shù)，它定量描述了該算法的運(yùn)行時(shí)間。一個(gè)算法執(zhí)行所耗費(fèi)的時(shí)間，從理論上說(shuō)，是不能算出來(lái)的，只有你把你的程序放在機(jī)器上跑起來(lái)，才能知道。但是我們需要每個(gè)算法都上機(jī)測(cè)試嗎？是可以都上機(jī)測(cè)試，但是這很麻煩，所以才有了時(shí)間復(fù)雜度這個(gè)分析方式。

一個(gè)算法所花費(fèi)的時(shí)間與其中語(yǔ)句的執(zhí)行次數(shù)成正比例，算法中的基本操作的執(zhí)行次數(shù)，為算法的時(shí)間復(fù)雜度即：找到某條基本語(yǔ)句與問(wèn)題規(guī)模N之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，就是算出了該算法的時(shí)間復(fù)雜度

// 請(qǐng)計(jì)算一下Func1中++count語(yǔ)句總共執(zhí)行了多少次？
void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j < N ; ++ j)
        {
        	++count;
        }
    }
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
   		 ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
    	++count;
    }   
    printf("%d\n", count);
}

Func1 執(zhí)行的基本操作次數(shù) ：F(N) = N^2+2*N+10

(‘^’在此章節(jié)表示為數(shù)乘)

• N = 10 F(N) = 130
• N = 100 F(N) = 10210
• N = 1000 F(N) = 1002010

實(shí)際中我們計(jì)算時(shí)間復(fù)雜度時(shí)，我們其實(shí)并不一定要計(jì)算精確的執(zhí)行次數(shù)，而只需要大概執(zhí)行次數(shù)，那么這里我們使用大O的漸進(jìn)表示法。

3.2 大O的漸進(jìn)表示法

大O符號(hào)（Big O notation）：是用于描述函數(shù)漸進(jìn)行為的數(shù)學(xué)符號(hào)。

推導(dǎo)大O階方法：

1、用常數(shù)1取代運(yùn)行時(shí)間中的所有加法常數(shù)。

2、在修改后的運(yùn)行次數(shù)函數(shù)中，只保留最高階項(xiàng)。

3、如果最高階項(xiàng)存在且不是1，則去除與這個(gè)項(xiàng)目相乘的常數(shù)。得到的結(jié)果就是大O階。使用大O的漸進(jìn)表示法以后，F(xiàn)unc1的時(shí)間復(fù)雜度為：O(N^2)

• N = 10 F(N) = 100
• N = 100 F(N) = 10000
• N = 1000 F(N) = 1000000

通過(guò)上面我們會(huì)發(fā)現(xiàn)大O的漸進(jìn)表示法去掉了那些對(duì)結(jié)果影響不大的項(xiàng)，簡(jiǎn)潔明了的表示出了執(zhí)行次數(shù)。

另外有些算法的時(shí)間復(fù)雜度存在最好、平均和最壞情況：

最壞情況：任意輸入規(guī)模的最大運(yùn)行次數(shù)(上界)

平均情況：任意輸入規(guī)模的期望運(yùn)行次數(shù)

最好情況：任意輸入規(guī)模的最小運(yùn)行次數(shù)(下界)

例如：在一個(gè)長(zhǎng)度為N數(shù)組中搜索一個(gè)數(shù)據(jù)x

最好情況：1次找到

最壞情況：N次找到

平均情況：N/2次找到

在實(shí)際中一般情況關(guān)注的是算法的最壞運(yùn)行情況，所以數(shù)組中搜索數(shù)據(jù)時(shí)間復(fù)雜度為O(N)

3.3 常見時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算舉例

實(shí)例1

// 計(jì)算Func2的時(shí)間復(fù)雜度？
void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
 	   ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
   		++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

實(shí)例 2

// 計(jì)算Func3的時(shí)間復(fù)雜度？
void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++ k)
    {
 	   ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N ; ++ k)
    {
  		++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

實(shí)例 3

// 計(jì)算Func4的時(shí)間復(fù)雜度？
void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++ k)
    {
    	++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

實(shí)例 4

// 計(jì)算strchr的時(shí)間復(fù)雜度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

實(shí)例 5

// 計(jì)算BubbleSort的時(shí)間復(fù)雜度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)
    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
        break;
    }
}

實(shí)例 6

// 計(jì)算BinarySearch的時(shí)間復(fù)雜度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
    assert(a);
    int begin = 0;
    int end = n-1;
    while (begin <= end)
    {
        int mid = begin + ((end-begin)>>1);//防溢出
        if (a[mid] < x)
        	begin = mid+1;
        else if (a[mid] > x)
        	end = mid-1;
        else
        	return mid;
    }
    return -1;
}

實(shí)例 7

// 計(jì)算階乘遞歸Fac的時(shí)間復(fù)雜度？
long long Fac(size_t N)
{
    if(0 == N)
    return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

實(shí)例 8

// 計(jì)算斐波那契遞歸Fib的時(shí)間復(fù)雜度？
long long Fib(size_t N)
{
    if(N < 3)
    return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

實(shí)例答案及分析：

實(shí)例1基本操作執(zhí)行了2N+10次，通過(guò)推導(dǎo)大O階方法知道，時(shí)間復(fù)雜度為 O(N)

實(shí)例2基本操作執(zhí)行了M+N次，有兩個(gè)未知數(shù)M和N，時(shí)間復(fù)雜度為 O(N+M)

實(shí)例3基本操作執(zhí)行了10次，通過(guò)推導(dǎo)大O階方法，時(shí)間復(fù)雜度為 O(1)

實(shí)例4基本操作執(zhí)行最好1次，最壞N次，時(shí)間復(fù)雜度一般看最壞，時(shí)間復(fù)雜度為 O(N)

實(shí)例5基本操作執(zhí)行最好N次，最壞執(zhí)行了(N*(N+1)/2)次（N-1 + N-2 + N-3…+2+1），通過(guò)推導(dǎo)大O階方法+時(shí)間復(fù)雜度一般看最壞，時(shí)間復(fù)雜度為 O(N^2)。

實(shí)例6基本操作執(zhí)行最好1次（第一次就找到了），最壞O(logN)次(全找了一遍但沒(méi)找到的情況），時(shí)間復(fù)雜度為 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底數(shù)為2，對(duì)數(shù)為N。有些地方會(huì)寫成lgN。（建議通過(guò)折紙查找的方式講解logN是怎么計(jì)算出來(lái)的）（假設(shè)找了x次才找完，則共有2^x個(gè)數(shù)據(jù)。反過(guò)來(lái)講就是N個(gè)數(shù)據(jù)最多要找logN（底數(shù)為2）次）

實(shí)例7通過(guò)計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)基本操作遞歸了N次，時(shí)間復(fù)雜度為O(N)。

實(shí)例8通過(guò)計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)基本操作遞歸了2^N 次，時(shí)間復(fù)雜度為O(2N)。（1+2+4+8……+2(n-1) 再減一些次數(shù)（忽略不計(jì)））（建議畫圖遞歸棧幀的二叉樹)

總結(jié)：我們想要分析算法的時(shí)間復(fù)雜度，一定要去看思想，，不能只去看程序是幾層循環(huán)。 遞歸算法時(shí)間復(fù)雜度的計(jì)算：

1.每次函數(shù)調(diào)用是O(1)，那么就看遞歸次數(shù)

2.每次函數(shù)調(diào)用不是O(1),就把每次的調(diào)用次數(shù)相加。

4.空間復(fù)雜度

空間復(fù)雜度也是一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，是對(duì)一個(gè)算法在運(yùn)行過(guò)程中臨時(shí)占用存儲(chǔ)空間大小的量度 。

空間復(fù)雜度不是程序占用了多少bytes的空間，因?yàn)檫@個(gè)也沒(méi)太大意義，所以空間復(fù)雜度算的是變量的個(gè)數(shù)?？臻g復(fù)雜度計(jì)算規(guī)則基本跟實(shí)踐復(fù)雜度類似，也使用大O漸進(jìn)表示法。

注意：函數(shù)運(yùn)行時(shí)所需要的棧空間(存儲(chǔ)參數(shù)、局部變量、一些寄存器信息等)在編譯期間已經(jīng)確定好了，因此空間復(fù)雜度主要通過(guò)函數(shù)在運(yùn)行時(shí)候顯式申請(qǐng)的額外空間來(lái)確定。

實(shí)例 1

// 計(jì)算BubbleSort的空間復(fù)雜度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
    assert(a);
    for (size_t end = n; end > 0; --end)  

    {
        int exchange = 0;
        for (size_t i = 1; i < end; ++i)
        {
            if (a[i-1] > a[i])
            {
                Swap(&a[i-1], &a[i]);
                exchange = 1;
            }
        }
        if (exchange == 0)
        break;
    }
}

實(shí)例 2

// 計(jì)算Fibonacci的空間復(fù)雜度？
// 返回斐波那契數(shù)列的前n項(xiàng)
long long* Fibonacci(size_t n)
{
    if(n==0)
    	return NULL;
    long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; ++i)
    {
    	fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray;
}

實(shí)例 3

// 計(jì)算階乘遞歸Fac的空間復(fù)雜度？
long long Fac(size_t N)
{
    if(N == 0)
    return 1;
    return Fac(N-1)*N;
}

實(shí)例4

// 計(jì)算斐波那契遞歸Fib的空間復(fù)雜度？
long long Fib(size_t N)
{
    if(N < 3)
    return 1;
    return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

實(shí)例答案及分析：

實(shí)例1使用了常數(shù)個(gè)額外空間，所以空間復(fù)雜度為 O(1)

實(shí)例2動(dòng)態(tài)開辟了N個(gè)空間，空間復(fù)雜度為 O(N)

實(shí)例3遞歸調(diào)用了N次，開辟了N個(gè)棧幀，每個(gè)棧幀使用了常數(shù)個(gè)空間?？臻g復(fù)雜度為O(N) 4.先說(shuō)答案空間復(fù)雜度為O(N) ，這是因?yàn)樗c棧幀的開辟與銷毀有關(guān)。棧幀銷毀后再開辟還是用的同一塊空間，它遞歸2^N次，開辟N個(gè)空間算出數(shù)值后銷毀空間，然后再開辟，總共用了N塊空間

總結(jié)： 時(shí)間一去不復(fù)返，是累積的 空間回收以后可以重復(fù)利用

5. 常見復(fù)雜度對(duì)比

一般算法常見的復(fù)雜度如下：

總結(jié)：這是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（用c語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)）的第一節(jié)課，內(nèi)容還算簡(jiǎn)單，可以抓緊時(shí)間復(fù)習(xí)c教程中的指針和結(jié)構(gòu)體等知識(shí)，之后的學(xué)習(xí)會(huì)更靈活的運(yùn)用這些知識(shí)。大家加油！

到此這篇關(guān)于C語(yǔ)言 超詳細(xì)講解算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C語(yǔ)言 時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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