遞歸是一種較為抽象的數(shù)學(xué)邏輯，可以簡(jiǎn)單的理解為「程序調(diào)用自身的算法」。

維基百科對(duì)遞歸的解釋是：

遞歸（英語(yǔ)：Recursion），又譯為遞回，在數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)中，是指在函數(shù)的定義中使用函數(shù)自身的方法。遞歸一詞還較常用于描述以自相似方法重復(fù)事物的過(guò)程。

例如，當(dāng)兩面鏡子相互之間近似平行時(shí)，鏡中嵌套的圖像是以無(wú)限遞歸的形式出現(xiàn)的。也可以理解為自我復(fù)制的過(guò)程。

"遞"是傳遞的意思，"歸"是歸還的意思，先把一個(gè)方法一層層傳遞下去，然后傳遞到最后一層再把結(jié)果歸還回來(lái)。

比方說(shuō)我排隊(duì)做核酸檢測(cè)，前面有100個(gè)人，我想問(wèn)下醫(yī)務(wù)人員幾點(diǎn)下班，于是問(wèn)了我前面那兄弟，他又問(wèn)了他前面的人，一個(gè)個(gè)傳遞下去，最終傳遞到了醫(yī)務(wù)人員那里，回話說(shuō)下午六點(diǎn)下班。這句話又往回傳，最終到了我這里，我知道了醫(yī)務(wù)人員六點(diǎn)下班。

這個(gè)過(guò)程就是一個(gè)遞歸過(guò)程，如果說(shuō)"傳話"本身是一種方法，那這整個(gè)傳話過(guò)程就是在調(diào)用自身方法，最終獲得了結(jié)果。

這和循環(huán)不一樣，循環(huán)相當(dāng)于給所有人都所有人都戴了耳機(jī)，然后有"中介"挨個(gè)去問(wèn)你知道醫(yī)務(wù)人員幾點(diǎn)下班嗎，等問(wèn)到醫(yī)務(wù)人員的時(shí)候，得到答案，“中介”告訴我六點(diǎn)下班。

實(shí)質(zhì)上，遞歸就是把一個(gè)大問(wèn)題不斷拆解，像剝洋蔥一樣，最終拆解到最小層面，會(huì)返回解題結(jié)果。

用Python舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的遞歸函數(shù)例子，講一講什么是遞歸的應(yīng)用。

我們經(jīng)常會(huì)看到函數(shù)會(huì)調(diào)用自身來(lái)實(shí)現(xiàn)循環(huán)操作，比如求階乘的函數(shù)。

整數(shù)n的階乘即n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1

如下面5行Python代碼，就能實(shí)現(xiàn)階乘的計(jì)算

def?fact(n):
????'''?n表示要求的數(shù)的階乘?'''
????if?n==1:
????????return?n?
????n?=?n*fact(n-1)
????return?n??

print(factorial(5))

輸出：

120

很多人可能困惑這里面的計(jì)算邏輯，為什么fact函數(shù)中調(diào)用了自身，最終能得到結(jié)果。

我們可以按照數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行推演：

整數(shù)n的階乘是：fact(n) = n*(n-1)*...*3*2*1

整數(shù)n-1的階乘是：fact(n-1) = (n-1)*(n-2)*...*3*2*1

所以可以推斷 fact(n) = n*fact(n-1)

這里是不是一種 fact方法可以為每個(gè)數(shù)所調(diào)用，最終調(diào)用到了n=1的時(shí)候，就返回結(jié)果n的階乘。

大家看上圖，遞歸函數(shù)會(huì)一層層往下調(diào)用，最終到n=1的時(shí)候，往上返回結(jié)果。

這就是遞歸的全過(guò)程，如果我們給遞歸下一個(gè)準(zhǔn)確的定義，可以概括為以下3點(diǎn)：

1、至少有一個(gè)明確的遞歸結(jié)束條件；

2、給出遞歸終止時(shí)的處理辦法；

3、每次進(jìn)入更深一層遞歸時(shí)，問(wèn)題規(guī)模(計(jì)算量)相比上次遞歸都應(yīng)有所減少

以上面代碼為例：

def?factorial(n):
????'''?n表示要求的數(shù)的階乘?'''
????if?n==1:?# 1、明確遞歸終止條件；
????????return?n?#?2、遞歸終止時(shí)的處理辦法
????n?=?n*factorial(n-1)?#?遞去
????return?n??#?歸來(lái)

除了常見(jiàn)的階乘案例，還有斐波那契數(shù)列，也是遞歸的經(jīng)典用法。

斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...

這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。

它以如下被以遞推的方法定義：F(0)=0，F(xiàn)(1)=1,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n≥ 2，n∈ N*）

在Python中，我們可以使用遞歸函數(shù)的方式去實(shí)現(xiàn)斐波那契數(shù)列：

# 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，試判斷數(shù)列第12個(gè)數(shù)是哪個(gè)？
def?fab(n):
????'''?n為斐波那契數(shù)列?'''
????if?n?<=?2:
????????v?=?1
????????return?v?
????v?=?fab(n-1)+fab(n-2)?
????return?v??

print(fab(12))?

使用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推導(dǎo)：

• fab(0) = 0（初始值）
• fab(1) = 1（初始值）
• 對(duì)所有大于1的整數(shù)n：fab(n) = fab(n-1)+ fab(n-2)（遞歸定義）

其實(shí)以上兩個(gè)遞歸的案例都可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)解釋，就是高中數(shù)學(xué)的知識(shí)。

一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n）都成立。

除了數(shù)學(xué)的解釋，之前也看到有人對(duì)遞歸更加形象的解釋：

1、我們已經(jīng)完成了嗎？如果完成了，返回結(jié)果。如果沒(méi)有這樣的終止條件，遞歸將會(huì)永遠(yuǎn)地繼續(xù)下去。

2、如果沒(méi)有，則簡(jiǎn)化問(wèn)題，解決較容易的問(wèn)題，并將結(jié)果組裝成原始問(wèn)題的解決辦法。然后返回該解決辦法。

哈哈,到這里大家是不是對(duì)遞歸有了一個(gè)更加深刻的認(rèn)識(shí)。

如果還不清楚，沒(méi)關(guān)系，這里還有更多的遞歸案例，用Python來(lái)實(shí)現(xiàn)，可以說(shuō)非常簡(jiǎn)潔。

「最大公因數(shù)：」

def?gcd(m,?n):
????if?n?==?0:
????????return?m
????else:
????????return?gcd(n,?m%n)

「從 1 到 n 的數(shù)字之和：」

def?sumnums(n):
????if?n?==?1:
????????return?1
????return?n?+?sumnums(n?-?1)

print(sumnums(3))

「字符串倒序：」

def?reverse(string):
????if?len(string)?==?0:
????????return?string
????else:
????????return?reverse(string[1:])?+?string[0]

reverseme?=?'我是帥哥'
print(reverse(reverseme))

「漢諾塔問(wèn)題：」

def?towerOfHanoi(numrings,?from_pole,?to_pole,?aux_pole):
????if?numrings?==?1:
????????print('Move?ring?1?from',?from_pole,?'pole?to',?to_pole,?'pole')
????????return
????towerOfHanoi(numrings?-?1,?from_pole,?aux_pole,?to_pole)
????print('Move?ring',?numrings,?'from',?from_pole,?'pole?to',?to_pole,?'pole')
????towerOfHanoi(numrings?-?1,?aux_pole,?to_pole,?from_pole)


numrings?=?2
towerOfHanoi(numrings,?'Left',?'Right',?'Middle')

「二分法找有序列表指定值：」

data?=?[1,3,6,13,56,123,345,1024,3223,6688]
def?dichotomy(min,max,d,n):
????'''
????min表示有序列表頭部索引
????max表示有序列表尾部索引
????d表示有序列表
????n表示需要尋找的元素
????'''
????mid?=?(min+max)//2
????if?mid==0:
????????return?'None'
????elif?d[mid]<n:
????????print('向右側(cè)找！')
????????return?dichotomy(mid,max,d,n)
????elif?d[mid]>n:
????????print('向左側(cè)找！')
????????return?dichotomy(min,mid,d,n)
????else:
????????print('找到了%s'%d[mid])
????????return?
res?=?dichotomy(0,len(data),data,222)
print(res)

有位大佬說(shuō)過(guò)：To Iterate is Human, to Recurse, Divine.

中文譯為：人理解迭代，神理解遞歸。

可見(jiàn)遞歸是非常神奇的算法，它的神奇之處在于它允許用戶用有限的語(yǔ)句描述無(wú)限的對(duì)象。

當(dāng)然人無(wú)完人，遞歸也是有缺點(diǎn)的，它一般效率較低，且會(huì)導(dǎo)致調(diào)用棧溢出。

因?yàn)檫f歸不斷調(diào)用自身函數(shù)，且產(chǎn)生大量變量，而?？臻g的容量是有限的，循環(huán)太多就會(huì)效率低下，甚至導(dǎo)致調(diào)用棧溢出

以上就是Python實(shí)例詳解遞歸算法的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于Python遞歸算法的資料請(qǐng)關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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