快捷導(dǎo)航

python機(jī)器學(xué)習(xí)MATLAB最小二乘法的兩種解讀

更新時(shí)間：2022年02月09日 09:47:23 作者：slandarer

這篇文章主要為大家介紹了python機(jī)器學(xué)習(xí)中MATLAB最小二乘法的兩種解讀方式，有需要的朋友可以借鑒參考下希望能夠有所幫助

最小二乘法

大部分的最小二乘法公式推導(dǎo)，都是使用的代價(jià)函數(shù)偏導(dǎo) 的方式來(lái)求得的，在這里首先展示如何通過(guò)代價(jià)函數(shù)求偏導(dǎo)的方式得到最小二乘公式，再展示李揚(yáng)老師講解的如何由向量到子空間的距離得來(lái)最小二乘法公式。

代價(jià)函數(shù)與最小二乘法

假設(shè)我們的擬合結(jié)果為：

則平方損失函數(shù)為：

平方損失函數(shù)的形式只有極小值，沒(méi)有極大值，我們要使代價(jià)函數(shù)最小，我們要找到其極值點(diǎn)，即偏導(dǎo)均為0的點(diǎn)，代價(jià)函數(shù)對(duì)于各參數(shù)偏導(dǎo)如下：

令偏導(dǎo)為0得：

實(shí)際上若是令:

則有：

向量到子空間的距離與最小二乘法

最小二乘法與多項(xiàng)式擬合

以下展示自己編寫(xiě)最小二乘法擬合多項(xiàng)式與MATLAB自帶函數(shù) polyfit 擬合多項(xiàng)式的參數(shù)對(duì)比，注意，為了和MATLAB自帶函數(shù)保持一致，θ向量變?yōu)榈谝粋€(gè)參數(shù)為 θn ,最后一個(gè)參數(shù)為 θo , X 矩陣也做了相應(yīng)的調(diào)整：

% 最小二乘法多項(xiàng)式擬合
% 原三次函數(shù)+隨機(jī)噪聲
f=@(x)x.^3+6.*x.^2-2.*x+4+(rand(size(x))-.5).*20;
% 構(gòu)造原始數(shù)據(jù)
x=-5:.1:5;
y=f(x);
% 自己寫(xiě)一個(gè)最小二乘
n=3;% 最高次數(shù)為三次
X=(x').^(n:-1:0);
theta1=((X'*X)\X'*y')';
% MATLAB自帶多項(xiàng)式擬合
theta2=polyfit(x,y,n);
% 輸出對(duì)比
disp(theta1)
disp(theta2)
% 一個(gè)小技巧，下面的寫(xiě)法能夠快速將
% 參數(shù)向量變成有關(guān)x的多項(xiàng)式匿名函數(shù)
func=matlabFunction(poly2sym(theta1));

theta1=
0.9686 6.0178 -1.8845 4.3362
theta2=
0.9686 6.0178 -1.8845 4.3362

多項(xiàng)式擬合結(jié)果繪圖：

% 繪圖部分
% 保持坐標(biāo)區(qū)域不刷新并添加網(wǎng)格
ax=gca;hold(ax,'on');grid(ax,'on');
% 繪制原數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合結(jié)果
plot(x,y,'o','MarkerFaceColor',[94,142,179]./255);
plot(x,func(x),'Color',[0,64,115]./255,'LineWidth',2);
% 修飾一下
ax.FontName='cambria';
ax.LineWidth=1.5;
ax.GridLineStyle='--';
ax.XColor=[1,1,1].*.3;
ax.YColor=[1,1,1].*.3;
ax.ZColor=[1,1,1].*.3;

最小二乘法與多元線性回歸

以下展示自己編寫(xiě)最小二乘法進(jìn)行多元線性回歸與MATLAB自帶函數(shù) regress 進(jìn)行多元線性回歸的參數(shù)對(duì)比：

% 最小二乘法多元線性回歸
% 原二元函數(shù)+隨機(jī)噪聲
f=@(x1,x2) 3.*x1+4.*x2+5+(rand(size(x1))-.5).*10;
% 構(gòu)造原始數(shù)據(jù)
[x1,x2]=meshgrid(-5:.5:5,-5:.5:5);
y=f(x1,x2);
% 自己寫(xiě)一個(gè)最小二乘
X=[x1(:),x2(:),ones(size(x1(:)))];
theta1=((X'*X)\X'*y(:));
% MATLAB多元線性回歸
theta2=regress(y(:),X);
% 輸出對(duì)比
disp(theta1)
disp(theta2)
% 構(gòu)造擬合結(jié)果的二元匿名函數(shù)
func=matlabFunction([sym('x1'),sym('x2'),1]*theta1);

theta1=
2.9285 4.0688 4.7520
theta2=
2.9285 4.0688 4.7520

多元線性回歸結(jié)果繪圖：

% 繪圖部分
% 保持坐標(biāo)區(qū)域不刷新并添加網(wǎng)格
ax=gca;hold(ax,'on');grid(ax,'on');
% 繪制原數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合結(jié)果
mesh(x1,x2,func(x1,x2),'FaceColor','flat','FaceAlpha',.8)
scatter3(x1(:),x2(:),y(:),20,'filled')
% 修飾一下
ax.FontName='cambria';
ax.LineWidth=1.5;
ax.GridLineStyle='--';
ax.XColor=[1,1,1].*.3;
ax.YColor=[1,1,1].*.3;
ax.ZColor=[1,1,1].*.3;
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