Python數(shù)學(xué)建模PuLP庫線性規(guī)劃實際案例編程詳解
1、問題描述
某廠生產(chǎn)甲乙兩種飲料，每百箱甲飲料需用原料6千克、工人10名，獲利10萬元；每百箱乙飲料需用原料5千克、工人20名，獲利9萬元。
今工廠共有原料60千克、工人150名，又由于其他條件所限甲飲料產(chǎn)量不超過8百箱。
（1）問如何安排生產(chǎn)計劃，即兩種飲料各生產(chǎn)多少使獲利最大？
?。?）若投資0.8萬元可增加原料1千克，是否應(yīng)作這項投資？投資多少合理？
?。?）若每百箱甲飲料獲利可增加1萬元，是否應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃？
（4）若每百箱甲飲料獲利可增加1萬元，若投資0.8萬元可增加原料1千克，是否應(yīng)作這項投資？投資多少合理？
?。?）若不允許散箱（按整百箱生產(chǎn)），如何安排生產(chǎn)計劃，即兩種飲料各生產(chǎn)多少使獲利最大？
2、用PuLP 庫求解線性規(guī)劃
2.1 問題 1
（1）數(shù)學(xué)建模
問題建模：
決策變量：
x1：甲飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
x2：乙飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
目標函數(shù)：
max fx = 10*x1 + 9*x2
約束條件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范圍：
給定條件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推導(dǎo)條件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）Python 編程
import pulp # 導(dǎo)入 pulp庫
ProbLP1 = pulp.LpProblem("ProbLP1", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題 1，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定義 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定義 x2
ProbLP1 += (10*x1 + 9*x2) # 設(shè)置目標函數(shù) f(x)
ProbLP1 += (6*x1 + 5*x2 <= 60) # 不等式約束
ProbLP1 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式約束
ProbLP1.solve()
print(ProbLP1.name) # 輸出求解狀態(tài)
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP1.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in ProbLP1.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("F1(x)=", pulp.value(ProbLP1.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標函數(shù)值
# = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
（3）運行結(jié)果
ProbLP1 x1=6.4285714 x2=4.2857143 F1(X)=102.8571427
2.2 問題 2
（1）數(shù)學(xué)建模
問題建模：
決策變量：
x1：甲飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
x2：乙飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
x3：增加投資（單位：萬元）
目標函數(shù)：
max fx = 10*x1 + 9*x2 - x3
約束條件：
6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范圍：
給定條件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推導(dǎo)條件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）Python 編程
import pulp # 導(dǎo)入 pulp庫
ProbLP2 = pulp.LpProblem("ProbLP2", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題 2，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定義 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定義 x2
x3 = pulp.LpVariable('x3', cat='Continuous') # 定義 x3
ProbLP2 += (10*x1 + 9*x2 - x3) # 設(shè)置目標函數(shù) f(x)
ProbLP2 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60) # 不等式約束
ProbLP2 += (10*x1 + 20*x2 <= 150) # 不等式約束
ProbLP2.solve()
print(ProbLP2.name) # 輸出求解狀態(tài)
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP2.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in ProbLP2.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("F2(x)=", pulp.value(ProbLP2.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標函數(shù)值
（3）運行結(jié)果
ProbLP2 x1=8.0 x2=3.5 x3=4.4 F2(X)=107.1
2.3 問題 3
（1）數(shù)學(xué)建模
問題建模：
決策變量：
x1：甲飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
x2：乙飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
目標函數(shù)：
max fx = 11*x1 + 9*x2
約束條件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范圍：
給定條件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推導(dǎo)條件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）Python 編程
import pulp # 導(dǎo)入 pulp庫
ProbLP3 = pulp.LpProblem("ProbLP3", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題 3，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定義 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定義 x2
ProbLP3 += (11 * x1 + 9 * x2) # 設(shè)置目標函數(shù) f(x)
ProbLP3 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式約束
ProbLP3 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式約束
ProbLP3.solve()
print(ProbLP3.name) # 輸出求解狀態(tài)
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP3.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in ProbLP3.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("F3(x) =", pulp.value(ProbLP3.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標函數(shù)值
（3）運行結(jié)果
ProbLP3 x1=8.0 x2=2.4 F3(X) = 109.6
2.4 問題 4
（1）數(shù)學(xué)建模
問題建模：
決策變量：
x1：甲飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
x2：乙飲料產(chǎn)量（單位：百箱）
x3：增加投資（單位：萬元）
目標函數(shù)：
max fx = 11*x1 + 9*x2 - x3
約束條件：
6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范圍：
給定條件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8
推導(dǎo)條件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7.5
（2）Python 編程
import pulp # 導(dǎo)入 pulp庫 ProbLP4 = pulp.LpProblem("ProbLP4", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題 2，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous') # 定義 x1
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous') # 定義 x2
x3 = pulp.LpVariable('x3', cat='Continuous') # 定義 x3
ProbLP4 += (11 * x1 + 9 * x2 - x3) # 設(shè)置目標函數(shù) f(x)
ProbLP4 += (6 * x1 + 5 * x2 - 1.25 * x3 <= 60) # 不等式約束
ProbLP4 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式約束
ProbLP4.solve()
print(ProbLP4.name) # 輸出求解狀態(tài)
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP4.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in ProbLP4.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("F4(x) = ", pulp.value(ProbLP4.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標函數(shù)值
# = 關(guān)注 Youcans，分享原創(chuàng)系列 https://blog.csdn.net/youcans =
（3）運行結(jié)果
ProbLP4 x1=8.0 x2=3.5 x3=4.4 F4(X) = 115.1
2.5 問題 5：整數(shù)規(guī)劃問題
（1）數(shù)學(xué)建模
問題建模：
決策變量：
x1：甲飲料產(chǎn)量，正整數(shù)（單位：百箱）
x2：乙飲料產(chǎn)量，正整數(shù)（單位：百箱）
目標函數(shù)：
max fx = 10*x1 + 9*x2
約束條件：
6*x1 + 5*x2 <= 60
10*x1 + 20*x2 <= 150
取值范圍：
給定條件：x1, x2 >= 0，x1 <= 8，x1, x2 為整數(shù)
推導(dǎo)條件：由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知：0<=x1<=15；0<=x2<=7.5
因此，0 <= x1<=8，0 <= x2<=7
說明：本題中要求飲料車輛為整百箱，即決策變量 x1,x2 為整數(shù)，因此是整數(shù)規(guī)劃問題。PuLP提供了整數(shù)規(guī)劃的
（2）Python 編程
import pulp # 導(dǎo)入 pulp庫
ProbLP5 = pulp.LpProblem("ProbLP5", sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題 1，求最大值
x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Integer') # 定義 x1，變量類型：整數(shù)
x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Integer') # 定義 x2，變量類型：整數(shù)
ProbLP5 += (10 * x1 + 9 * x2) # 設(shè)置目標函數(shù) f(x)
ProbLP5 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60) # 不等式約束
ProbLP5 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150) # 不等式約束
ProbLP5.solve()
print(ProbLP5.name) # 輸出求解狀態(tài)
print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP5.status]) # 輸出求解狀態(tài)
for v in ProbLP5.variables():
print(v.name, "=", v.varValue) # 輸出每個變量的最優(yōu)值
print("F5(x) =", pulp.value(ProbLP5.objective)) # 輸出最優(yōu)解的目標函數(shù)值
（3）運行結(jié)果
ProbLP5 x1=8.0 x2=2.0 F5(X) = 98.0
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