標(biāo)量

標(biāo)量由普通小寫字母表示（例如，x、y和z）。我們用 R \mathbb{R} R表示所有（連續(xù)）實(shí)數(shù)標(biāo)量的空間。

標(biāo)量由只有一個(gè)元素的張量表示。下面代碼，我們實(shí)例化了兩個(gè)標(biāo)量，并使用它們執(zhí)行一些熟悉的算數(shù)運(yùn)算，即加法、乘法、除法和指數(shù)。

import torch
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
x + y, x * y, x / y, x ** y

tensor([5]), tensor([6]), tensor([1.5]), tensor([9])

向量

向量是標(biāo)量值組成的列表，我們將這些標(biāo)量值稱為向量的元素或分量。
在數(shù)學(xué)表示法中，我們通常將向量記為粗體、小寫的符號(hào)（例如， x \mathbf{x} x、 y \mathbf{y} y和 z \mathbf{z} z）

我們通過一維張量處理向量。一般來說，張量可以具有任意長(zhǎng)度，最大長(zhǎng)度取決于機(jī)器的內(nèi)存限制。

x = torch.arange(4)

tensor([0, 1, 2, 3])

大量文獻(xiàn)認(rèn)為列向量是向量的默認(rèn)方向。在數(shù)學(xué)中，向量 x \mathbf{x} x可以寫為：

我們可以通過張量的索引來訪問任一元素。

x[3]

tensor(3)

長(zhǎng)度、維度和形狀

在數(shù)學(xué)表示法中，如果我們想說一個(gè)向量 x \mathbf{x} x由 n n n個(gè)實(shí)值標(biāo)量組成，我們可以將其表示為 x ∈ R n \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} x∈Rn。向量的長(zhǎng)度通常稱為向量的維度。

與普通的Python數(shù)組一樣，我們可以通過調(diào)用Python的內(nèi)置len()函數(shù)來訪問張量的長(zhǎng)度。

len(x)

4

當(dāng)用張量表示一個(gè)向量（只有一個(gè)軸）時(shí)，我們也可以通過.shape屬性訪問向量的長(zhǎng)度。形狀（shape）是一個(gè)元組，列出了張量沿每個(gè)軸的長(zhǎng)度（維數(shù)）。對(duì)于只有一個(gè)軸的張量，形狀只有一個(gè)元素。

x.shape

torch.Size([4])

注意，維度（dimension）這個(gè)詞在不同上下文時(shí)往往會(huì)有不同的含義，這經(jīng)常會(huì)使人感到困惑。為了清楚起見，我們?cè)诖嗣鞔_一下。向量或軸的維度被用來表示向量或軸的長(zhǎng)度，即向量或軸的元素?cái)?shù)量。然而，張量的維度用來表示張量具有的軸數(shù)。在這個(gè)意義上，張量的某個(gè)軸的維數(shù)就是這個(gè)軸的長(zhǎng)度。

矩陣

當(dāng)矩陣具有相同數(shù)量的行和列時(shí)，其形狀將變?yōu)檎叫危灰虼?，它被稱為方矩陣。

當(dāng)調(diào)用函數(shù)來實(shí)例化張量時(shí)，我們可以通過指定兩個(gè)分量m和n來創(chuàng)建一個(gè)形狀為 m×n的矩陣。

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)

tensor([[0, 1, 2, 3],
        [4, 5, 6, 7],
        [8, 9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]])

A.T

tensor([[0, 4, 8, 12, 16],
        [1, 5, 9, 13, 17],
        [2, 6, 10, 14, 18],
        [3, 7, 11, 15, 19]])

矩陣是有用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：它們?cè)试S我們組織具有不同變化模式的數(shù)據(jù)。例如，我們矩陣中的行可能對(duì)應(yīng)于不同的房屋（數(shù)據(jù)樣本），而列可能對(duì)應(yīng)于不同的屬性。因此，盡管單個(gè)向量的默認(rèn)方向是列向量，但在表示表格數(shù)據(jù)集的矩陣中，將每個(gè)數(shù)據(jù)樣本作為矩陣中的行向量更為常見。

張量

張量為我們提供了描述具有任意數(shù)量軸的 n n n維數(shù)組的通用方法。

當(dāng)我們開始處理圖像時(shí)，張量將變得更加重要，圖像以 n n n維數(shù)組形式出現(xiàn)，其中3個(gè)軸對(duì)應(yīng)于高度、寬度以及一個(gè)通道（channel）軸，用于堆疊顏色通道（紅色、綠色和藍(lán)色）。現(xiàn)在，我們將跳過高階張量，集中在基礎(chǔ)知識(shí)上。

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)

tensor([[[0, 1, 2, 3],
         [4, 5, 6, 7],
         [8, 9, 10, 11]],
        [[12, 13, 14, 15],
         [16, 17, 18, 19],
         [20, 21, 22, 23]]])

張量算法的基本性質(zhì)

任何按元素的一元運(yùn)算都不會(huì)改變其操作數(shù)的形狀。同樣，給定具有相同形狀的任意兩個(gè)張量，任何按元素二元運(yùn)算的結(jié)果都將是相同形狀的張量。例如，將兩個(gè)相同形狀的矩陣相加會(huì)在這兩個(gè)矩陣上執(zhí)行元素的加法。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5,4)
B = A.clone
A, A + B

tensor([[0, 1, 2, 3],
        [4, 5, 6, 7],
        [8, 9, 10, 11],
        [12, 13, 14, 15],
        [16, 17, 18, 19]]),
tensor([[0, 2, 4, 6],
        [8, 10, 12, 14],
        [16, 18, 20, 22],
        [24, 26, 28, 30],
        [32, 34, 36, 38]])

具體而言，兩個(gè)矩陣按元素乘法稱為哈達(dá)瑪積。

A * B

tensor([[0, 1, 4, 9],
        [16, 25, 36, 49],
        [64, 81, 100, 121],
        [144, 169, 196, 225],
        [256, 289, 324, 361]])

將張量乘以或加上一個(gè)標(biāo)量不會(huì)改變張量的形狀，其中張量的每個(gè)元素都將與標(biāo)量相加或相乘。

降維

我們可以對(duì)任意張量進(jìn)行一個(gè)有用的操作是計(jì)算其元素的和。在代碼中，我們可以調(diào)用計(jì)算求和的函數(shù)：

x = torch.arange(4, dtype = torch.float32)
x.sum()

tensor(6)

默認(rèn)的情況下，調(diào)用求和函數(shù)會(huì)沿所有的軸降低張量的維度，使它變?yōu)橐粋€(gè)標(biāo)量。我們還可以指定張量沿哪一個(gè)軸來通過求和降低維度。以矩陣為例，為了通過求和所有行的元素來降維（軸0），我們可以在調(diào)用函數(shù)時(shí)指定axis = 0。由于輸入矩陣沿著0軸降維以生成輸出張量，因此輸入的軸0的維數(shù)在輸出形狀中丟失。

A.shape

torch.Size([5, 4])

A_sum_axis0 = A.sum(axis = 0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

tensor([40, 45, 50, 55]), torch.Size([4])

指定axis = 1將通過匯總所有列的元素降維（軸1）。因此，輸入的軸1的維數(shù)在輸出形狀中消失。

A_sum_axis1 = A.sum(axis = 1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

tensor([6, 22, 38, 54, 70]), torch.Size([5])

沿著行和列對(duì)矩陣求和，等價(jià)于對(duì)矩陣的所有元素進(jìn)行求和。

A.sum(axis=[0, 1])

tensor(190)

一個(gè)與求和相關(guān)的量是平均值。在代碼中，我們可以調(diào)用函數(shù)來計(jì)算任意形狀張量的平均值。

A.mean()

同樣，計(jì)算平均值的函數(shù)也可以沿指定軸降低張量的維度。

A.mean(axis = 0)

點(diǎn)積

最基本的操作是點(diǎn)積。
給定兩個(gè)向量，點(diǎn)積是它們相同位置的按元素乘積的和。

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

tensor([0, 1, 2, 3]), tensor([1, 1, 1, 1]), tensor(6)

矩陣-矩陣乘法

在下面的代碼中，我們?cè)贏和B上執(zhí)行矩陣乘法。這里的A是一個(gè)5行4列的矩陣，B是一個(gè)4行3列的矩陣。相乘后，我們得到一個(gè)5行3列的矩陣。

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)

范數(shù)

線性代數(shù)中最有用的一些運(yùn)算符是范數(shù)。非正式地說，一個(gè)向量的范數(shù)告訴我們一個(gè)向量有多大。這里考慮的大?。╯ize）概念不涉及維度，而是分量的大小。

在線性代數(shù)中，向量范數(shù)是將向量映射到標(biāo)量的函數(shù) f f f。向量范數(shù)要滿足一些屬性。給定任意向量 x \mathbf{x} x，第一個(gè)性質(zhì)來說，如果我們按常數(shù)因子 α \alpha α縮放向量的所有元素，其范數(shù)也會(huì)按相同常數(shù)因子的絕對(duì)值縮放：

第二個(gè)性質(zhì)是我們熟悉的三角不等式：

第三個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單地說范數(shù)必須是非負(fù)的。

最后一個(gè)性質(zhì)要求范數(shù)最小為0，當(dāng)且僅當(dāng)向量全由0組成。

u = torch.tensor([3, 4])
torch.norm(u)

u = torch.tensor([3, 4])
torch.abs(u).sum()

tensor(7)

torch.norm(torch.ones((4, 9)))

范數(shù)和目標(biāo)：

在深度學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常試圖解決優(yōu)化問題：最大化分配給觀測(cè)數(shù)據(jù)的概率；最小化預(yù)測(cè)和真實(shí)觀測(cè)之間的距離。用向量表示物品（如單詞、產(chǎn)品或新聞文章），以便最小化相似項(xiàng)目之間的距離，最大化不同項(xiàng)目之間的距離。通常，目標(biāo)，或許是深度學(xué)習(xí)算法最終要的組成部分（除了數(shù)據(jù)），被表達(dá)為范數(shù)。

以上就是Python深度學(xué)習(xí)線性代數(shù)示例詳解的詳細(xì)內(nèi)容，更多關(guān)于Python線性代數(shù)的資料請(qǐng)關(guān)注腳本之家其它相關(guān)文章！

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