分形，具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。通常被定義為“一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質(zhì)。分形（Fractal）一詞，是芒德勃羅創(chuàng)造出來(lái)的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義。1973年，芒德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時(shí)，首次提出了分維和分形的設(shè)想。
分形是一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，也是一套以分形特征為研究主題的數(shù)學(xué)理論。分形理論既是非線性科學(xué)的前沿和重要分支，又是一門(mén)新興的橫斷學(xué)科，是研究一類(lèi)現(xiàn)象特征的新的數(shù)學(xué)分科，相對(duì)于其幾何形態(tài)，它與微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)理論的聯(lián)系更為顯著。分形的自相似特征可以是統(tǒng)計(jì)自相似，構(gòu)成分形也不限于幾何形式，時(shí)間過(guò)程也可以，故而與鞅論關(guān)系密切。
分形幾何是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界普遍存在，因此分形幾何學(xué)又被稱(chēng)為描述大自然的幾何學(xué)。分形幾何學(xué)建立以后，很快就引起了各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的關(guān)注。不僅在理論上，而且在實(shí)用上分形幾何都具有重要價(jià)值。

——摘自百度百科

分形樹(shù)是分形幾何中的一小種類(lèi)型，一棵分形樹(shù)相當(dāng)于一棵“滿二叉樹(shù)”。通常都用遞歸來(lái)實(shí)現(xiàn)，遞歸條件通常分兩派，一派是用長(zhǎng)度遞減，直到長(zhǎng)度不滿足某個(gè)條件時(shí)退出；另一派則是按層數(shù)來(lái)遞歸，相當(dāng)于“滿二叉樹(shù)”的層序遍歷。前一派的長(zhǎng)度遞歸相當(dāng)于“滿二叉樹(shù)”的先序遍歷，從根出發(fā)先左子樹(shù)后右子樹(shù)，每一棵子樹(shù)都按這種“先根后左右”的順序遍歷。

舉個(gè)例子：

源代碼：

import turtle 
def bintree(size):
    angle = 60    # 分叉的角度
    if size > 5:    # 長(zhǎng)度退出條件
        turtle.forward(size)
        turtle.left(angle)
        bintree(size / 1.6)
        turtle.right(angle*2)
        bintree(size / 1.6)
        turtle.left(angle)
        turtle.backward(size)
def main():
    turtle.speed(0)
    turtle.hideturtle()
    turtle.penup()
    turtle.left(90)
    turtle.backward(100)
    turtle.showturtle()
    turtle.pendown()
    turtle.pensize(2)
    turtle.color('green')
    bintree(150)
    turtle.done() 
if __name__ == '__main__':
 
    main()

以上代碼中長(zhǎng)度以等比數(shù)列遞減，公比1/1.6；當(dāng)然也可以改成等差數(shù)列形式。此方式缺點(diǎn)樹(shù)的層數(shù)不能直接控制，需要用初始長(zhǎng)度、遞減公式和退出條件來(lái)計(jì)算得出。

勾股樹(shù)，其實(shí)就是分形樹(shù)的一種，只是不像上例一樣簡(jiǎn)單地畫(huà)2個(gè)分叉，而是畫(huà)直角三角形加上各邊上的正方形，就像平面幾何中勾股定理證明時(shí)畫(huà)的示意圖。

以下是我用Turtle庫(kù)畫(huà)的一棵12層的對(duì)稱(chēng)勾股樹(shù)，使用“層序遍歷”方式：

根據(jù)二叉樹(shù)的性質(zhì)可知：12層的樹(shù)會(huì)有 2^12 - 1 個(gè)正方形以及同樣數(shù)量的三角形。時(shí)間復(fù)雜度為指數(shù)級(jí)，在關(guān)掉畫(huà)筆蹤跡開(kāi)關(guān)的情況下畫(huà)完此時(shí)耗時(shí)43秒。

簡(jiǎn)單點(diǎn)，就用一個(gè)6層的來(lái)示意一下其“層序”的過(guò)程：

源代碼：

from turtle import *
 def Square(self,length):
    for _ in range(5):
        self.forward(length)
        self.right(90)
def Triangle(self,length):
    self.left(45)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(90)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(135)
    self.forward(length)
def Move2Right(self,length):
    self.back(length)
    self.right(45)
    self.forward(length/2**0.5)
    self.right(90) 
def Recursive(n, tracer, length):
    if n<1: return
    tracers = []
    for left in tracer:
        if n<3: left.pencolor('green')
        else: left.pencolor('brown')
        Square(left, length)
        Triangle(left, length)
        right = left.clone()
        left.right(45)
        Move2Right(right, length)
        tracers.append(left)
        tracers.append(right)
    Recursive(n-1, tracers, length/2**0.5)
def Setup(self, length, speed):
    self.hideturtle()
    self.speed(speed)
    self.penup()
    self.goto(-length*0.5, -length*1.8)
    self.seth(90)
    self.pensize(2)
    self.pendown() 
def main(level, length, speed=-1):
    setup(800,600)
    title('Fractal Tree')
    if speed==-1: tracer(0)
    else: tracer(1)
    t = Turtle()
    Setup(t, length, speed)
    from time import sleep
    sleep(2)
    Recursive(level, list([t]), length)
    done()
    bye() 
if __name__ == '__main__':    
    main(6,150,10)
 

主函數(shù)： main(level, length, speed=-1)

參數(shù)：
level: 樹(shù)的層數(shù)
length: 最底層正方形的邊長(zhǎng)
speed: 1~10，畫(huà)筆速度遞增；=0時(shí)速度最快；=-1時(shí)關(guān)閉畫(huà)筆蹤跡。

本篇完，其他分形圖待繼......

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