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線段樹詳解以及C++實現(xiàn)代碼

 更新時間:2021年07月18日 15:05:29   作者:唐 家 三 少  
線段樹在一些acm題目中經(jīng)常見到,這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)主要應(yīng)用在計算幾何和地理信息系統(tǒng)中,這篇文章主要給大家介紹了關(guān)于線段樹以及C++實現(xiàn)的相關(guān)資料,需要的朋友可以參考下

應(yīng)用場景

假設(shè)有這樣的問題:有n個數(shù),m次操作,操作分為:修改某一個數(shù)或者查詢一段區(qū)間的值

分析下,如果針對數(shù)組元素的修改可以是O(1)完成,求某個區(qū)間值需要O(n)才可以完成,如果m和n都很大的情況,這個復(fù)雜度就很難接受了。

我們之前學(xué)過的前綴和算法可以解決區(qū)間求和的問題,并且時間復(fù)雜度是O(1),但如果涉及到修改操作,前綴和數(shù)組都需要重新計算,時間復(fù)雜度也是O(n)

有沒有什么辦法可以兼顧以上兩種操作,并且可以將時間復(fù)雜度降低?

這就是我們要學(xué)習(xí)的線段樹!把修改和查詢的時間復(fù)雜度都降到O(logn)?。。?/strong>

算法思想

先來看下線段樹長什么樣:

有以下數(shù)組(為方便計算,數(shù)組下標從1開始)

我們把它轉(zhuǎn)換成線段樹,是長這樣的:

1)葉子結(jié)點(綠色)存的都是原數(shù)組元素的值

2)每個父結(jié)點是它的兩個子節(jié)點的值的和

3)每個父結(jié)點記錄它表示區(qū)間的范圍,如上圖的“1-2”表示1到2的區(qū)間

下面我們來看看線段樹是如何降低操作復(fù)雜度的!

查詢操作

例如我們需要查詢2-5區(qū)間的和

使用遞歸的思想:

2~5的和

=2~3的和+4~5的和

=3+5+4~5的和

=3+5+11

=19

總之,就是沿著線段樹的劃分把區(qū)間分開,再加到一塊就行啦!

修改操作

例如,我們要把結(jié)點2的值由3->5,線段樹需要沿著紅色部分一個一個改,直到根結(jié)點:

不管是修改操作還是查詢操作,時間復(fù)雜度都是O(logn)

下一步我們來看怎么實現(xiàn)線段樹!

算法實現(xiàn)

首先我們需要將原始數(shù)組建立成一顆線段樹,然后在樹的基礎(chǔ)上提供查詢和修改的操作。

建樹

觀察上圖,我們發(fā)現(xiàn)線段樹是一棵近似完全二叉樹,利用完全二叉樹的性質(zhì),我們就可以直接用一個數(shù)組來存它。

就像上圖一樣把各個節(jié)點標上號,如果根節(jié)點編號是n,那它的左子樹編號是2n,右子樹的編號是2n+1

所以說,知道了根節(jié)點的編號,我們就可以快速有效的找到左右子樹的根節(jié)點

void build(int root,int start,int end){
    if(start == end){
        tree[root] = num[start];
        return;
    }
    int leftroot = root * 2;//左結(jié)點
    int rightroot = root * 2 + 1;//右結(jié)點
    int mid = (start+end)/2;
    build(leftroot,start,mid);//遞歸計算左結(jié)點
    build(rightroot,mid+1,end);//遞歸計算右結(jié)點
    tree[root] = tree[leftroot] + tree[rightroot];//根結(jié)點值=左根+右根
}

查詢

int query(int root,int start,int end,int l,int r){
    if(l<=start && r>= end){
        return tree[root];
    }
    int leftroot = root * 2;
    int rightroot = root * 2 + 1;
    int mid = (start+end)/2;
    int sum = 0;
    if(l<=mid){
        sum += query(leftroot,start,mid,l,r);
    }
    if(r>mid){
        sum += query(rightroot,mid+1,end,l,r);
    }
    return sum;
}

修改

/**
* 修改[l,r]區(qū)間里的數(shù),都加上k值
* @param root
* @param start
* @param end
* @param l
* @param r
* @param k
*/
void update(int root,int start,int end,int l,int r,int k){
    if(start == end){
        tree[root] += k;
        return;
    }
    int leftroot = root * 2;
    int rightroot = root * 2 + 1;
    int mid = (start+end)/2;
    if(l<=mid){
        update(leftroot,start,mid,l,r,k);
    }
    if(r>mid){
        update(rightroot,mid+1,end,l,r,k);
    }
    tree[root] = tree[leftroot] + tree[rightroot];
}

?。。。嚎紤]下按區(qū)間修改元素值的復(fù)雜度?

注意事項:

1)我們在實現(xiàn)線段樹時,實際存儲肯定大于原始數(shù)組,我們一般讓tree數(shù)組的長度為原始數(shù)據(jù)長度的3-4倍。

2)本文只是為了讓大家學(xué)習(xí)線段樹的實現(xiàn)原理,實際中我們可以將原始數(shù)組的start,end使用結(jié)構(gòu)體存儲,這樣更簡潔

總結(jié)

到此這篇關(guān)于線段樹詳解以及C++實現(xiàn)的文章就介紹到這了,更多相關(guān)C++實現(xiàn)線段樹內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家!

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