一、問題描述

給定兩個(gè)字符串，求解這兩個(gè)字符串的最長(zhǎng)公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB。則這兩個(gè)字符串的最長(zhǎng)公共子序列長(zhǎng)度為4，最長(zhǎng)公共子序列是：BCBA

二、算法求解

這是一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的題目。對(duì)于可用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的問題，一般有兩個(gè)特征：①最優(yōu)子結(jié)構(gòu)；②重疊子問題

①最優(yōu)子結(jié)構(gòu)

設(shè)X=(x1,x2,...,xn)和Y=(y1,y2,...,ym)是兩個(gè)序列，將X和Y的最長(zhǎng)公共子序列記為L(zhǎng)CS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一個(gè)最優(yōu)化問題。因?yàn)?，我們需要找到X和Y中最長(zhǎng)的那個(gè)公共子序列。而要找X和Y的LCS，首先考慮X的最后一個(gè)元素和Y的最后一個(gè)元素。

⑴如果xn=ym，即X的最后一個(gè)元素與Y的最后一個(gè)元素相同，這說明該元素一定位于公共子序列中。因此，現(xiàn)在只需要找：LCS(Xn-1,Ym-1)

LCS(Xn-1,Ym-1)就是原問題的一個(gè)子問題。為什么叫子問題？因?yàn)樗囊?guī)模比原問題小。

為什么是最優(yōu)的子問題？因?yàn)槲覀円业氖荴n-1和Ym-1的最長(zhǎng)公共子序列啊。最長(zhǎng)的！換句話說就是最優(yōu)的那個(gè)。

⑵如果xn!=ym，這下要麻煩一點(diǎn)，因?yàn)樗a(chǎn)生了兩個(gè)子問題：LCS(Xn-1,Ym)和LCS(Xn,Ym-1)

因?yàn)樾蛄蠿和序列Y的最后一個(gè)元素不相等，那說明最后一個(gè)元素不可能是最長(zhǎng)公共子序列中的元素。

LCS(Xn-1,Ym)表示：最長(zhǎng)公共序列可以在(x1,x2,...xn-1)和(y1,y2,...,ym)中找。

LCS(Xn,Ym-1)表示：最長(zhǎng)公共序列可以在(x1,x2,...xn)和(y1,y2,...,ym-1)中找。

求解上面兩個(gè)子問題，得到的公共子序列誰最長(zhǎng)，那誰就是LCS(X,Y)。用數(shù)學(xué)表示就是：

LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}

由于條件⑴和⑵考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功的把原問題轉(zhuǎn)化成了三個(gè)規(guī)模更小的問題。

②重疊子問題

重疊子問題是什么？就是說原問題轉(zhuǎn)化成子問題后，子問題中有相同的問題。

原問題是：LCS(X,Y)。子問題有❶LCS(Xn-1,Ym-1)❷ LCS(Xn-1,Ym)❸ LCS(Xn,Ym-1)

乍一看，這三個(gè)問題是不重疊的?？杀举|(zhì)上它們是重疊的，因?yàn)樗鼈冎恢丿B了一大部分。舉例：

第二個(gè)子問題：LCS(Xn-1,Ym)就包含了問題❶LCS(Xn-1,Ym-1)，為什么？

因?yàn)椋?dāng)Xn-1和Ym的最后一個(gè)元素不相同時(shí)，我們又需要將LCS(Xn-1,Ym-1)進(jìn)行分解：分解成：LCS(Xn-1,Ym-1)和LCS(Xn-2,Ym)

也就是說：在子問題的繼續(xù)分解中，有些問題是重疊的。

由于像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質(zhì)，因此：用遞歸來求解就太不劃算了。國(guó)為采用遞歸，它重復(fù)地求解了子問題，而且需要注意的是，所有子問題加起來的個(gè)數(shù)是指數(shù)級(jí)的。

那么問題來了，如果用遞歸求解，有指數(shù)級(jí)個(gè)子問題，故時(shí)間復(fù)雜度是指數(shù)級(jí)的。這指數(shù)級(jí)個(gè)子問題，難道用了動(dòng)態(tài)規(guī)劃，就變成多項(xiàng)式時(shí)間了？？

關(guān)鍵是采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí)，并不需要去一一計(jì)算那些重疊了的子問題?；蛘哒f：用了動(dòng)態(tài)規(guī)劃之后，有些子問題是通過“查表”直接得到的，而不是重新又計(jì)算一遍得到的。舉個(gè)例子：比如求Fib數(shù)列。

求fib(5)，分解成了兩個(gè)子問題：fib(4)和fib(3)，求解fib(4)和fib(3)時(shí)，又分解了一系列的小問題...

從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4)和fib(3)下，是有很多重疊的！比如，對(duì)于fib(2)，它就一共出現(xiàn)了三次。如果用遞歸來求解，fib(2)就會(huì)被計(jì)算三次，而用DP（Dynamic Programming）動(dòng)態(tài)規(guī)劃，則fib(2)只會(huì)計(jì)算一次，其他兩次則是通過“查表”直接求得。而且，更關(guān)鍵的是：查找求得該問題的解之后，就不需要再繼續(xù)去分解該問題了。而對(duì)于遞歸，是不斷地將問題解，直到分解為基準(zhǔn)問題（fib(0)或者fib(1)）

說了這么多，還是寫下最長(zhǎng)公共子序列的遞歸式才完整。

C[i,j]表示：(x1,x2,...,xi)和(y1,y2,...,yj)的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度。公式的具體解釋可參考《算法導(dǎo)論》動(dòng)態(tài)規(guī)劃章節(jié)

三、LCS Python代碼實(shí)現(xiàn)

#! /usr/bin/env python3
# -*- coding:utf-8 -*-

# Author  : mayi
# Blog   : http://www.cnblogs.com/mayi0312/
# Date   : 2019/5/16
# Name   : test03
# Software : PyCharm
# Note   : 用于實(shí)現(xiàn)求解兩個(gè)字符串的最長(zhǎng)公共子序列


def longestCommonSequence(str_one, str_two, case_sensitive=True):
  """
  str_one 和 str_two 的最長(zhǎng)公共子序列
  :param str_one: 字符串1
  :param str_two: 字符串2（正確結(jié)果）
  :param case_sensitive: 比較時(shí)是否區(qū)分大小寫，默認(rèn)區(qū)分大小寫
  :return: 最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度
  """
  len_str1 = len(str_one)
  len_str2 = len(str_two)
  # 定義一個(gè)列表來保存最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度，并初始化
  record = [[0 for i in range(len_str2 + 1)] for j in range(len_str1 + 1)]
  for i in range(len_str1):
    for j in range(len_str2):
      if str_one[i] == str_two[j]:
        record[i + 1][j + 1] = record[i][j] + 1
      elif record[i + 1][j] > record[i][j + 1]:
        record[i + 1][j + 1] = record[i + 1][j]
      else:
        record[i + 1][j + 1] = record[i][j + 1]

  return record[-1][-1]

if __name__ == '__main__':
  # 字符串1
  s1 = "BDCABA"
  # 字符串2
  s2 = "ABCBDAB"
  # 計(jì)算最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度
  res = longestCommonSequence(s1, s2)
  # 打印結(jié)果
  print(res) # 4

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