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Python實(shí)現(xiàn)線性判別分析(LDA)的MATLAB方式

更新時(shí)間：2019年12月09日 09:23:49 作者：沐爾還吃

今天小編大家分享一篇Python實(shí)現(xiàn)線性判別分析(LDA)的MATLAB方式，具有很好的參考價(jià)值，希望對(duì)大家有所幫助。一起跟隨小編過(guò)來(lái)看看吧

線性判別分析（linear discriminant analysis），LDA。也稱為Fisher線性判別（FLD）是模式識(shí)別的經(jīng)典算法。

（1）中心思想：將高維的樣本投影到最佳鑒別矢量空間，來(lái)達(dá)到抽取分類信息和壓縮特種空間維數(shù)的效果，投影后保證樣本在新的子空間有最大的類間距離和最小的類內(nèi)距離。也就是說(shuō)在該空間中有最佳的可分離性。

（2）與PCA的不同點(diǎn)：PCA主要是從特征的協(xié)方差出發(fā)，來(lái)找到比較好的投影方式，最后需要保留的特征維數(shù)可以自己選擇。但是LDA更多的是考慮了類別信息，即希望投影后不同類別之間數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離更大，同一類別的數(shù)據(jù)點(diǎn)更緊湊。

從圖中也可以看出，LDA的投影后就已經(jīng)將不同的類別分開(kāi)了。

所以說(shuō)，LDA是以分類為基準(zhǔn)的，考慮的是如何選擇投影方向使得分類更好，是有監(jiān)督的。但是PCA是一種無(wú)監(jiān)督的降維方式，它只是單純的降維，只考慮如何選擇投影面才能使得降維以后的樣本信息保留的最大。

（3）LDA的維度：LDA降維后是與類別個(gè)數(shù)直接相關(guān)的，而與數(shù)據(jù)本身的維度沒(méi)有關(guān)系。如果有C個(gè)類別，LDA降維后一般會(huì)選擇1-C-1維。對(duì)于很多二分類問(wèn)題，LDA之后就剩下一維，然后再找到一個(gè)分類效果最好的閾值就可以進(jìn)行分類了。

（4）投影的坐標(biāo)系是否正交：

PCA的投影坐標(biāo)系都是正交的，而LDA是根據(jù)類別的標(biāo)注，主要關(guān)注的是分類能力，因此可以不去關(guān)注石否正交，而且一般都不正交。

（5）LDA步驟：

（a）計(jì)算各個(gè)類的樣本均值：

這個(gè)地方需要注意的是，分別求出每個(gè)類別樣本的Sbi或者Swi后，在計(jì)算總體的Sb和Sw時(shí)需要做加權(quán)平均，因?yàn)槊總€(gè)類別中的樣本數(shù)目可能是不一樣的。

（d）LDA作為一個(gè)分類的算法，我們希望類內(nèi)的聚合度高，即類內(nèi)散度矩陣小，而類間散度矩陣大。這樣的分類效果才好。因此引入Fisher鑒別準(zhǔn)則表達(dá)式：

（inv(Sw)Sb）的特征向量。且最優(yōu)投影軸的個(gè)數(shù)d<=C-1;

（e）所以，只要計(jì)算出矩陣inv(Sw)Sb的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，該特征向量就是投影方向W。

（6）計(jì)算各點(diǎn)在投影后的方向上的投影點(diǎn)：

MATLAB實(shí)現(xiàn)代碼：

%這是訓(xùn)練數(shù)據(jù)集

%2.9500 6.6300 0
%2.5300 7.7900 0
%3.5700 5.6500 0
%3.1600 5.4700 0
%2.5800 4.4600 1
%2.1600 6.2200 1

%3.2700 3.5200 1

X=load('22.txt');
pos0=find(X(:,3)==0);
pos1=find(X(:,3)==1);
X1=X(pos0,1:2);
X2=X(pos1,1:2);
hold on
plot(X1(:,1),X1(:,2),'r+','markerfacecolor', [ 1, 0, 0 ]);
plot(X2(:,1),X2(:,2),'b*','markerfacecolor', [ 0, 0, 1 ]);

grid on

%輸出樣本的二維分布

M1 = mean(X1);
M2 = mean(X2);
M = mean([X1;X2]);
%第二步：求類內(nèi)散度矩陣
p = size(X1,1);
q = size(X2,1);
a=repmat(M1,4,1);
S1=(X1-a)'*(X1-a);
b=repmat(M2,3,1);
S2=(X2-b)'*(X2-b);
Sw=(p*S1+q*S2)/(p+q);
%第三步：求類間散度矩陣
sb1=(M1-M)'*(M1-M);
sb2=(M2-M)'*(M2-M);
Sb=(p*sb1+q*sb2)/(p+q);
bb=det(Sw);
%第四步：求最大特征值和特征向量
[V,L]=eig(inv(Sw)*Sb);
[a,b]=max(max(L));

W = V(:,b);%最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量

%第五步：畫出投影線
k=W(2)/W(1);
b=0;
x=2:6;
yy=k*x+b;

plot(x,yy);%畫出投影線

%計(jì)算第一類樣本在直線上的投影點(diǎn)
xi=[];
for i=1:p
  y0=X1(i,2);
  x0=X1(i,1);
  x1=(k*(y0-b)+x0)/(k^2+1);
  xi=[xi;x1];
end
yi=k*xi+b;
XX1=[xi yi];
%計(jì)算第二類樣本在直線上的投影點(diǎn)
xj=[];
for i=1:q
  y0=X2(i,2);
  x0=X2(i,1);
  x1=(k*(y0-b)+x0)/(k^2+1);
  xj=[xj;x1];
end
yj=k*xj+b;
XX2=[xj yj];
% y=W'*[X1;X2]';
plot(XX1(:,1),XX1(:,2),'r+','markerfacecolor', [ 1, 0, 0 ]);

plot(XX2(:,1),XX2(:,2),'b*','markerfacecolor', [ 0, 0, 1 ]);

python 實(shí)現(xiàn)：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

X=np.loadtxt("22.txt")

pos0=np.where(X[:,2]==0) 
print(pos0)
pos1=np.where(X[:,2]==1)

print(pos1)

X1=X[pos0,0:2]
X1=X1[0,:,:]
print(X1,X1.shape)
X2=X[pos1,0:2]
X2=X2[0,:,:]

print(X2,X2.shape)

#第一步，求各個(gè)類別的均值

M1=np.mean(X1,0)
M1=np.array([M1])
print(M1,M1.shape)
M2=np.mean(X2,0)
M2=np.array([M2])
print(M2)
M=np.mean(X[:,0:2],0)
M=np.array([M])
print(M)

p=np.size(X1,0)
print(p)
q=np.size(X2,0)

print(q)

#第二步，求類內(nèi)散度矩陣
S1=np.dot((X1-M1).transpose(),(X1-M1))
print(S1)
S2=np.dot((X2-M2).transpose(),(X2-M2))
print(S2)
Sw=(p*S1+q*S2)/(p+q)

print(Sw)

#第三步，求類間散度矩陣
Sb1=np.dot((M1-M).transpose(),(M1-M))
print(Sb1)
Sb2=np.dot((M2-M).transpose(),(M2-M))
print(Sb2)
Sb=(p*Sb1+q*Sb2)/(p+q)

print(Sb)

#判斷Sw是否可逆

bb=np.linalg.det(Sw)

print(bb)

#第四步，求最大特征值和特征向量
[V,L]=np.linalg.eig(np.dot(np.linalg.inv(Sw),Sb))
print(V,L.shape)
list1=[]
a=V
list1.extend(a)
print(list1)
b=list1.index(max(list1))
print(a[b])
W=L[:,b]

print(W,W.shape)

#根據(jù)求得的投影向量W畫出投影線
k=W[1]/W[0]
b=0;
x=np.arange(2,10)
yy=k*x+b
plt.plot(x,yy)
plt.scatter(X1[:,0],X1[:,1],marker='+',color='r',s=20)
plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],marker='*',color='b',s=20)
plt.grid()

plt.show()

#計(jì)算第一類樣本在直線上的投影點(diǎn)
xi=[]
yi=[]
for i in range(0,p):
  y0=X1[i,1]
  x0=X1[i,0]
  x1=(k*(y0-b)+x0)/(k**2+1)
  y1=k*x1+b
  xi.append(x1)
  yi.append(y1)
print(xi)

print(yi)

#計(jì)算第二類樣本在直線上的投影點(diǎn)
xj=[]
yj=[]
for i in range(0,q):
  y0=X2[i,1]
  x0=X2[i,0]
  x1=(k*(y0-b)+x0)/(k**2+1)
  y1=k*x1+b
  xj.append(x1)
  yj.append(y1)
print(xj)

print(yj)

#畫出投影后的點(diǎn)
plt.plot(x,yy)
plt.scatter(X1[:,0],X1[:,1],marker='+',color='r',s=20)
plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],marker='>',color='b',s=20)
plt.grid()
plt.plot(xi,yi,'r+')
plt.plot(xj,yj,'b>')

plt.show()