PyTorch基礎(chǔ)入門三：PyTorch搭建多項(xiàng)式回歸模型 

1）理論簡介

對于一般的線性回歸模型，由于該函數(shù)擬合出來的是一條直線，所以精度欠佳，我們可以考慮多項(xiàng)式回歸來擬合更多的模型。所謂多項(xiàng)式回歸，其本質(zhì)也是線性回歸。也就是說，我們采取的方法是，提高每個(gè)屬性的次數(shù)來增加維度數(shù)。比如，請看下面這樣的例子：

如果我們想要擬合方程：

對于輸入變量和輸出值，我們只需要增加其平方項(xiàng)、三次方項(xiàng)系數(shù)即可。所以，我們可以設(shè)置如下參數(shù)方程：

可以看到，上述方程與線性回歸方程并沒有本質(zhì)區(qū)別。所以我們可以采用線性回歸的方式來進(jìn)行多項(xiàng)式的擬合。下面請看代碼部分。

2）代碼實(shí)現(xiàn)

當(dāng)然最先要做的就是導(dǎo)包了，下面需要說明的只有一個(gè)：itertools中的count，這個(gè)是用來記數(shù)用的，其可以記數(shù)到無窮，第一個(gè)參數(shù)是記數(shù)的起始值，第二個(gè)參數(shù)是步長。其內(nèi)部實(shí)現(xiàn)相當(dāng)于如下代碼：

def count(firstval=0, step=1):
 x = firstval
 while 1:
 yield x
 x += step

下面是導(dǎo)包部分代碼，這里定義了一個(gè)常量POLY_DEGREE = 3用來指定多項(xiàng)式最高次數(shù)。

from itertools import count
import torch
import torch.autograd
import torch.nn.functional as F
 
POLY_DEGREE = 3

然后我們需要將數(shù)據(jù)處理成矩陣的形式：

在PyTorch里面使用torch.cat()函數(shù)來實(shí)現(xiàn)Tensor的拼接：

def make_features(x):
 """Builds features i.e. a matrix with columns [x, x^2, x^3, x^4]."""
 x = x.unsqueeze(1)
 return torch.cat([x ** i for i in range(1, POLY_DEGREE+1)], 1)

對于輸入的個(gè)數(shù)據(jù)，我們將其擴(kuò)展成上面矩陣所示的樣子。

然后定義出我們需要擬合的多項(xiàng)式，可以隨機(jī)抽取一個(gè)多項(xiàng)式來作為我們的目標(biāo)多項(xiàng)式。當(dāng)然，系數(shù)和偏置確定了，多項(xiàng)式也就確定了：

W_target = torch.randn(POLY_DEGREE, 1)
b_target = torch.randn(1)
 
def f(x):
 """Approximated function."""
 return x.mm(W_target) + b_target.item()

這里的權(quán)重已經(jīng)定義好了，x.mm(W_target)表示做矩陣乘法，就是每次輸入一個(gè)得到一個(gè)的真實(shí)函數(shù)。

在訓(xùn)練的時(shí)候我們需要采樣一些點(diǎn)，可以隨機(jī)生成一批數(shù)據(jù)來得到訓(xùn)練集。下面的函數(shù)可以讓我們每次取batch_size這么多個(gè)數(shù)據(jù)，然后將其轉(zhuǎn)化為矩陣形式，再把這個(gè)值通過函數(shù)之后的結(jié)果也返回作為真實(shí)的輸出值：

def get_batch(batch_size=32):
 """Builds a batch i.e. (x, f(x)) pair."""
 random = torch.randn(batch_size)
 x = make_features(random)
 y = f(x)
 return x, y

接下來我們需要定義模型，這里采用一種簡寫的方式定義模型，torch.nn.Linear()表示定義一個(gè)線性模型，這里定義了是輸入值和目標(biāo)參數(shù)的行數(shù)一致（和POLY_DEGREE一致，本次實(shí)驗(yàn)中為3），輸出值為1的模型。

# Define model
fc = torch.nn.Linear(W_target.size(0), 1)

下面開始訓(xùn)練模型，訓(xùn)練的過程讓其不斷優(yōu)化，直到隨機(jī)取出的batch_size個(gè)點(diǎn)中計(jì)算出來的均方誤差小于0.001為止。

for batch_idx in count(1):
 # Get data
 batch_x, batch_y = get_batch()
 
 # Reset gradients
 fc.zero_grad()
 
 # Forward pass
 output = F.smooth_l1_loss(fc(batch_x), batch_y)
 loss = output.item()
 
 # Backward pass
 output.backward()
 
 # Apply gradients
 for param in fc.parameters():
 param.data.add_(-0.1 * param.grad.data)
 
 # Stop criterion
 if loss < 1e-3:
 break

這樣就已經(jīng)訓(xùn)練出了我們的多項(xiàng)式回歸模型，為了方便觀察，定義了如下打印函數(shù)來打印出我們擬合的多項(xiàng)式表達(dá)式：

def poly_desc(W, b):
 """Creates a string description of a polynomial."""
 result = 'y = '
 for i, w in enumerate(W):
 result += '{:+.2f} x^{} '.format(w, len(W) - i)
 result += '{:+.2f}'.format(b[0])
 return result
 
print('Loss: {:.6f} after {} batches'.format(loss, batch_idx))
print('==> Learned function:\t' + poly_desc(fc.weight.view(-1), fc.bias))
print('==> Actual function:\t' + poly_desc(W_target.view(-1), b_target))

程序運(yùn)行結(jié)果如下圖所示：

可以看出，真實(shí)的多項(xiàng)式表達(dá)式和我們擬合的多項(xiàng)式十分接近?，F(xiàn)實(shí)世界中很多問題都不是簡單的線性回歸，涉及到很多復(fù)雜的非線性模型。但是我們可以在其特征量上進(jìn)行研究，改變或者增加其特征，從而將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題來解決，這種處理問題的思路是我們從多項(xiàng)式回歸的算法中應(yīng)該汲取到的。

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