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動態(tài)規(guī)劃之矩陣連乘問題Python實(shí)現(xiàn)方法

更新時間：2017年11月27日 12:28:11 作者：欠扁的小籃子

這篇文章主要介紹了動態(tài)規(guī)劃之矩陣連乘問題Python實(shí)現(xiàn)方法,較為詳細(xì)的分析了矩陣連乘問題的概念、原理并結(jié)合實(shí)例形式分析了Python相關(guān)實(shí)現(xiàn)技巧,需要的朋友可以參考下

本文實(shí)例講述了動態(tài)規(guī)劃之矩陣連乘問題Python實(shí)現(xiàn)方法。分享給大家供大家參考，具體如下：

給定n個矩陣｛A1,A2,…,An｝，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1,2 ,…,n-1。如何確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數(shù)乘次數(shù)最少。

例如：

A1={30x35} ; A2={35x15} ;A3={15x5} ;A4={5x10} ;A5={10x20} ;A6={20x25} ;

結(jié)果為：((A1(A2A3))((A4A5)A6)) 最小的乘次為15125。

原問題為n個矩陣連乘，將原問題分解為子問題，即當(dāng)n等于1,2,3.....時。
n==1時，單一矩陣，不需要計算。最小乘次為0
n==2時，根據(jù)n==1時的結(jié)果，遍歷計算出每相鄰兩個矩陣的最小乘次
n==3時，根據(jù)n==1和n==2時的結(jié)果，此時已經(jīng)求出每相鄰1個、2個矩陣的最小乘次，遍歷計算出該相鄰三個矩陣的最小乘次
依次類推……
當(dāng)n==n時，根據(jù)n==1、2、……n-1時的結(jié)果，此時已經(jīng)求出每相鄰1個、2個、3個……n-1個矩陣的最小乘次，由此求出n==n時的最小乘次

每當(dāng)n增加1時，就利用已求出的子結(jié)構(gòu)來求解此時的最優(yōu)值。

數(shù)學(xué)描述如下：

設(shè)矩陣Ai的維數(shù)為Pi × Pi+1。
設(shè)A[i:j]為矩陣AiAi+1....Aj的連乘積，即從Ai到Aj的連乘積，其中，0 <= i <= j <= n-1
設(shè)m[i][j]為計算A[i:j]的最小乘次，所以原問題的最優(yōu)值為m[0][n-1]。
當(dāng) i==j 時，單一矩陣，無需計算。m[i][i]=0，i=0,1，....n-1
當(dāng) i < j 時，利用最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，計算m[i][j]。即尋找斷開位置k(i <= k < j)，使得m[i][k]+m[k+1][j]+Pi*Pk+1*Pj+1最小。

該算法的python實(shí)現(xiàn)：

# coding=gbk
# 矩陣連乘問題
__author__ = 'ice'
# row_num 每個矩陣的行數(shù)
class Matrix:
  def __init__(self, row_num=0, col_num=0, matrix=None):
    if matrix != None:
      self.row_num = len(matrix)
      self.col_num = len(matrix[0])
    else:
      self.row_num = row_num
      self.col_num = col_num
    self.matrix = matrix
def matrix_chain(matrixs):
  matrix_num = len(matrixs)
  count = [[0 for j in range(matrix_num)] for i in range(matrix_num)]
  flag = [[0 for j in range(matrix_num)] for i in range(matrix_num)]
  for interval in range(1, matrix_num + 1):
    for i in range(matrix_num - interval):
      j = i + interval
      count[i][j] = count[i][i] + count[i + 1][j] + matrixs[i].row_num * matrixs[i + 1].row_num * matrixs[j].col_num
      flag[i][j] = i
      for k in range(i + 1, j):
        temp = count[i][k] + count[k + 1][j] + matrixs[i].row_num * matrixs[k + 1].row_num * matrixs[j].col_num
        if temp < count[i][j]:
          count[i][j] = temp
          flag[i][j] = k
  traceback(0, matrix_num - 1, flag)
  return count[0][matrix_num - 1]
def traceback(i, j, flag):
  if i == j:
    return
  if j - i > 1:
    print(str(i + 1) + '~' + str(j + 1), end=': ')
    print(str(i + 1) + ":" + str(flag[i][j] + 1), end=',')
    print(str(flag[i][j] + 2) + ":" + str(j + 1))
  traceback(i, flag[i][j], flag)
  traceback(flag[i][j] + 1, j, flag)
matrixs = [Matrix(30, 35), Matrix(35, 15), Matrix(15, 5), Matrix(5, 10), Matrix(10, 20), Matrix(20, 25)]
result = matrix_chain(matrixs)
print(result)
# 1~6: 1:3,4:6
# 1~3: 1:1,2:3
# 4~6: 4:5,6:6
# 15125

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希望本文所述對大家Python程序設(shè)計有所幫助。

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