本文實(shí)例講述了Java矩陣連乘問題(動(dòng)態(tài)規(guī)劃)算法。分享給大家供大家參考，具體如下：

問題描述：給定n個(gè)矩陣：A1,A2,...,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。確定計(jì)算矩陣連乘積的計(jì)算次序，使得依此次序計(jì)算矩陣連乘積需要的數(shù)乘次數(shù)最少。輸入數(shù)據(jù)為矩陣個(gè)數(shù)和每個(gè)矩陣規(guī)模，輸出結(jié)果為計(jì)算矩陣連乘積的計(jì)算次序和最少數(shù)乘次數(shù)。

問題解析：由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，故計(jì)算矩陣的連乘積可以有許多不同的計(jì)算次序。這種計(jì)算次序可以用加括號(hào)的方式來確定。若一個(gè)矩陣連乘積的計(jì)算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號(hào)，則可以依此次序反復(fù)調(diào)用2個(gè)矩陣相乘的標(biāo)準(zhǔn)算法計(jì)算出矩陣連乘積。

完全加括號(hào)的矩陣連乘積可遞歸地定義為：

（1）單個(gè)矩陣是完全加括號(hào)的；
（2）矩陣連乘積A是完全加括號(hào)的，則A可表示為2個(gè)完全加括號(hào)的矩陣連乘積B和C的乘積并加括號(hào)，即A=(BC)

例如，矩陣連乘積A1A2A3A4有5種不同的完全加括號(hào)的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一種完全加括號(hào)的方式對(duì)應(yīng)于一個(gè)矩陣連乘積的計(jì)算次序，這決定著作乘積所需要的計(jì)算量。

看下面一個(gè)例子，計(jì)算三個(gè)矩陣連乘{A1，A2，A3}；維數(shù)分別為10*100 , 100*5 , 5*50 按此順序計(jì)算需要的次數(shù)((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此順序計(jì)算需要的次數(shù)(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次

所以問題是：如何確定運(yùn)算順序，可以使計(jì)算量達(dá)到最小化。

算法思路：

例：設(shè)要計(jì)算矩陣連乘乘積A1A2A3A4A5A6，其中各矩陣的維數(shù)分別是：

A1：30*35;     A2：35*15;     A3：15*5;     A4：5*10;     A5：10*20;     A6：20*25

遞推關(guān)系：

設(shè)計(jì)算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少數(shù)乘次數(shù)m[i,j]，則原問題的最優(yōu)值為m[1,n]。
當(dāng)i=j時(shí)，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
當(dāng)i<j時(shí)，若A[i:j]的最優(yōu)次序在Ak和Ak+1之間斷開，i<=k<j,則：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在計(jì)算是并不知道斷開點(diǎn)k的位置，所以k還未定。不過k的位置只有j-i個(gè)可能。因此，k是這j-i個(gè)位置使計(jì)算量達(dá)到最小的那個(gè)位置。

綜上，有遞推關(guān)系如下：

構(gòu)造最優(yōu)解：

若將對(duì)應(yīng)m[i][j]的斷開位置k記為s[i][j]，在計(jì)算出最優(yōu)值m[i][j]后，可遞歸地由s[i][j]構(gòu)造出相應(yīng)的最優(yōu)解。s[i][j]中的數(shù)表明，計(jì)算矩陣鏈A[i:j]的最佳方式應(yīng)在矩陣Ak和Ak+1之間斷開，即最優(yōu)的加括號(hào)方式應(yīng)為(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，從s[1][n]記錄的信息可知計(jì)算A[1:n]的最優(yōu)加括號(hào)方式為(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，進(jìn)一步遞推，A[1:s[1][n]]的最優(yōu)加括號(hào)方式為(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以確定A[s[1][n]+1:n]的最優(yōu)加括號(hào)方式在s[s[1][n]+1][n]處斷開...照此遞推下去，最終可以確定A[1:n]的最優(yōu)完全加括號(hào)方式，及構(gòu)造出問題的一個(gè)最優(yōu)解。

package Matrix;
public class Matrix {
  public static void MatrixChain(int[] p,int n, int[][] m, int[][] s) {
   for (int i = 1; i <= n; i++) {
     m[i][i] = 0;
   }
    for(int r = 2;r <= n; r++ ) {
      for(int i = 1; i <= n-r+1; i++) {
        int j = i+r-1;
        m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
        s[i][j] = i;
        for(int k = i+1; k < j; k++) {
          int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
          if(t < m[i][j]) {
            m[i][j] = t;
            s[i][j] = k;
          }
        }
      }
    }
  }
  public static void Traceback(int i, int j, int[][] s) {
    if(i == j) return;
    Traceback(i,s[i][j],s);
    Traceback(s[i][j] + 1,j,s);
    System.out.println("Multiply  A" + i + "," + s[i][j] + "and A" + (s[i][j] + 1) + "," + j);
  }
  public static void main(String[] args) {
    System.out.println("腳本之家測(cè)試結(jié)果：");
    Matrix mc = new Matrix();
    int n = 7;
    int p[] = { 30, 35, 15, 5, 10, 20, 25 };
    int m[][] = new int[n][n];
    int s[][] = new int[n][n];
    int l = p.length-1;
    mc.MatrixChain(p, l,m, s);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      for (int j = 1; j < n; j++) {
        System.out.print(m[i][j] + "\t");
      }
      System.out.println();
    }
    System.out.println();
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      for (int j = 1; j < n; j++) {
        System.out.print(s[i][j]+" ");
      }
      System.out.println();
    }
    mc.Traceback( 1, 6, s);
  }
}

運(yùn)行結(jié)果：

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